1. Problema: Calcolare il valore delle espressioni date. 2. Formula e regole importanti: - $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ - $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ - $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ - Le potenze di frazioni si calcolano elevando numeratore e denominatore. 3. Esercizio 6: Calcolare $$\left[(\frac{3}{2})^2\right]^{-3} : (\frac{2}{3})^{-5} \cdot \left[(\frac{2}{3})^5\right]^{-2}$$ - Calcoliamo ogni parte: - $\left[(\frac{3}{2})^2\right]^{-3} = (\frac{3}{2})^{2 \cdot (-3)} = (\frac{3}{2})^{-6} = (\frac{2}{3})^{6}$ - $(\frac{2}{3})^{-5} = (\frac{3}{2})^{5}$ - $\left[(\frac{2}{3})^5\right]^{-2} = (\frac{2}{3})^{5 \cdot (-2)} = (\frac{2}{3})^{-10} = (\frac{3}{2})^{10}$ - Ora sostituiamo: $$ (\frac{2}{3})^{6} : (\frac{3}{2})^{5} \cdot (\frac{3}{2})^{10} = (\frac{2}{3})^{6} \cdot (\frac{3}{2})^{-5} \cdot (\frac{3}{2})^{10} = (\frac{2}{3})^{6} \cdot (\frac{3}{2})^{5} $$ - Poiché $(\frac{3}{2})^{5} = (\frac{2}{3})^{-5}$, moltiplichiamo: $$ (\frac{2}{3})^{6} \cdot (\frac{2}{3})^{-5} = (\frac{2}{3})^{6-5} = (\frac{2}{3})^{1} = \frac{2}{3} $$ 4. Esercizio 7: Calcolare $$ (\frac{3}{7})^{2} \cdot (-\frac{5}{14})^{-2} : \left[(\frac{9}{10})^{-2}\right]^{-1} $$ - Calcoliamo ogni parte: - $(-\frac{5}{14})^{-2} = (-1)^{-2} \cdot (\frac{5}{14})^{-2} = 1 \cdot (\frac{14}{5})^{2} = (\frac{14}{5})^{2}$ - $\left[(\frac{9}{10})^{-2}\right]^{-1} = (\frac{9}{10})^{2}$ - Sostituiamo: $$ (\frac{3}{7})^{2} \cdot (\frac{14}{5})^{2} : (\frac{9}{10})^{2} = \frac{(\frac{3}{7})^{2} \cdot (\frac{14}{5})^{2}}{(\frac{9}{10})^{2}} = \left( \frac{\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{5}}{\frac{9}{10}} \right)^{2} $$ - Calcoliamo la frazione interna: $$ \frac{\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{5}}{\frac{9}{10}} = \frac{\frac{42}{35}}{\frac{9}{10}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3} $$ - Quindi: $$ \left( \frac{4}{3} \right)^{2} = \frac{16}{9} $$ 5. Esercizio 8: Calcolare $$ \left[(-\frac{3}{2})^{8} \cdot (\frac{3}{2})^{-4} : (-\frac{3}{2})^{2}\right]^{-1} + (-\frac{5}{3})^{5} : (\frac{5}{3})^{-3} \cdot (\frac{3}{5})^{7} $$ - Calcoliamo la parte dentro le parentesi quadre: $$ (-\frac{3}{2})^{8} \cdot (\frac{3}{2})^{-4} : (-\frac{3}{2})^{2} = \frac{(-\frac{3}{2})^{8} \cdot (\frac{3}{2})^{-4}}{(-\frac{3}{2})^{2}} $$ - Poiché $(-\frac{3}{2})^{8} = (\frac{3}{2})^{8}$ (potenza pari), e $(-\frac{3}{2})^{2} = (\frac{3}{2})^{2}$: $$ = \frac{(\frac{3}{2})^{8} \cdot (\frac{3}{2})^{-4}}{(\frac{3}{2})^{2}} = (\frac{3}{2})^{8 - 4 - 2} = (\frac{3}{2})^{2} $$ - Quindi la prima parte è: $$ \left[(\frac{3}{2})^{2}\right]^{-1} = (\frac{3}{2})^{-2} = (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9} $$ - Calcoliamo la seconda parte: $$ (-\frac{5}{3})^{5} : (\frac{5}{3})^{-3} \cdot (\frac{3}{5})^{7} = (-1)^{5} (\frac{5}{3})^{5} \cdot (\frac{5}{3})^{3} \cdot (\frac{3}{5})^{7} = - (\frac{5}{3})^{8} \cdot (\frac{3}{5})^{7} $$ - Poiché $(\frac{5}{3})^{8} \cdot (\frac{3}{5})^{7} = (\frac{5}{3})^{8-7} = \frac{5}{3}$: $$ = - \frac{5}{3} $$ - Sommiamo le due parti: $$ \frac{4}{9} + \left(- \frac{5}{3}\right) = \frac{4}{9} - \frac{15}{9} = -\frac{11}{9} $$ Risposte finali: - Esercizio 6: $\frac{2}{3}$ - Esercizio 7: $\frac{16}{9}$ - Esercizio 8: $-\frac{11}{9}$