1. نبدأ بكتابة الدالة المعطاة: $$f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - 6x + 1$$ 2. المطلوب هو حساب قيمة الدالة عند نقطة معينة، مثلاً عند $x_0 = 1$: $$f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 - 6(1) + 1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 + 1$$ 3. نحسب القيم العددية: $$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$$ وبالتالي: $$f(1) = -\frac{1}{6} - 6 + 1 = -\frac{1}{6} - 5 = -\frac{1}{6} - \frac{30}{6} = -\frac{31}{6} \approx -5.1667$$ 4. لحساب قيمة الدالة عند $x = \frac{2019}{2003}$، نستخدم تقريباً معطى في السؤال: $$f\left(\frac{2019}{2003}\right) \approx 10^{-3}$$ وهذا يعني أن قيمة الدالة عند هذه النقطة قريبة جداً من الصفر، تقريباً 0.001. 5. ملخص: - الدالة هي دالة كثيرة حدود من الدرجة الثالثة. - حسبنا قيمة الدالة عند $x=1$ ووجدناها حوالي $-5.1667$. - قيمة الدالة عند $x=\frac{2019}{2003}$ تقريباً $0.001$. هذا يوضح كيفية تقييم الدالة عند نقاط معينة باستخدام التعويض المباشر والتقريب.