1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux modèles pour l'évolution de la concentration en principe actif d'un médicament dans le sang. --- ### Premier modèle : Données : \begin{tabular}{c|c} Temps (heures) & Concentration (g/L) \\ \hline 0 & 2 \\ 0,5 & 1,9 \\ 1 & 1,81 \\ 1,5 & 1,73 \\ 2 & 1,65 \end{tabular} **a) Calcul du taux d'évolution sur les 30 premières minutes (0 à 0,5 h) :** Le taux d'évolution est donné par : $$\text{taux} = \frac{C_{final} - C_{initial}}{t_{final} - t_{initial}} = \frac{1,9 - 2}{0,5 - 0} = \frac{-0,1}{0,5} = -0,2 \text{ g/L par heure}$$ **b) Vérification que ce taux reste constant entre deux valeurs successives :** Calculons les taux entre chaque intervalle de 0,5 h : - Entre 0,5 h et 1 h : $$\frac{1,81 - 1,9}{1 - 0,5} = \frac{-0,09}{0,5} = -0,18$$ - Entre 1 h et 1,5 h : $$\frac{1,73 - 1,81}{1,5 - 1} = \frac{-0,08}{0,5} = -0,16$$ - Entre 1,5 h et 2 h : $$\frac{1,65 - 1,73}{2 - 1,5} = \frac{-0,08}{0,5} = -0,16$$ Les taux ne sont pas exactement constants mais proches, ce qui suggère une décroissance presque linéaire. **c) Définition d'une suite modélisant cette évolution :** Soit $u_n$ la concentration au temps $t_n = 0,5n$ heures. On remarque que la concentration diminue d'environ 10% tous les 30 minutes, donc on peut modéliser par une suite géométrique : $$u_{n+1} = u_n \times r$$ avec $r \approx \frac{1,9}{2} = 0,95$. La suite est donc géométrique de raison $r = 0,95$ et de premier terme $u_0 = 2$. Cette suite est décroissante car $0 < r < 1$. **d) Calcul des 20 premiers termes :** $$u_n = 2 \times 0,95^n$$ Les 20 premiers termes peuvent être calculés avec une feuille de calcul. --- ### Second modèle : La concentration est modélisée par la fonction : $$f(x) = 1,9 \times 10^{-2} x^2 - 3,8 \times 10^{-1} x + 2$$ avec $x$ en heures et $x \leq 10$. **a) Tableau de variations :** Calculons la dérivée : $$f'(x) = 2 \times 1,9 \times 10^{-2} x - 3,8 \times 10^{-1} = 0,038x - 0,38$$ Posons $f'(x) = 0$ pour trouver les extremums : $$0,038x - 0,38 = 0 \Rightarrow x = \frac{0,38}{0,038} = 10$$ Pour $x < 10$, $f'(x) < 0$ donc $f$ est décroissante sur $[0,10)$. **b) Représentation graphique :** Peut être faite avec une feuille de calcul. **c) Nombre dérivé en $x=1$, $x=0,4$ et $x=10$ :** Calculons : - $f'(1) = 0,038 \times 1 - 0,38 = -0,342$ - $f'(0,4) = 0,038 \times 0,4 - 0,38 = -0,3652$ - $f'(10) = 0,038 \times 10 - 0,38 = 0$ Interprétation : Le nombre dérivé représente la vitesse de variation de la concentration. À $x=10$, la vitesse est nulle, indiquant un minimum local. --- **Réponse finale :** - Premier modèle : suite géométrique décroissante $u_n = 2 \times 0,95^n$. - Second modèle : fonction quadratique décroissante sur $[0,10)$ avec minimum en $x=10$.