1. **Resuelve el sistema de ecuaciones:** \[\begin{cases} 3 \log x - 2 \log y = 4 \\ \log(xy) = 3 \end{cases}\] 2. Usamos propiedades de logaritmos: \(\log(xy) = \log x + \log y\). 3. Sea \(a = \log x\) y \(b = \log y\), el sistema queda: \[\begin{cases} 3a - 2b = 4 \\ a + b = 3 \end{cases}\] 4. De la segunda ecuación: \(b = 3 - a\). 5. Sustituimos en la primera: \[3a - 2(3 - a) = 4 \Rightarrow 3a - 6 + 2a = 4 \Rightarrow 5a - 6 = 4\] 6. Sumamos 6 a ambos lados: \[5a = 10\] 7. Dividimos entre 5: \[a = \cancel{\frac{5a}{5}}{=2}\] 8. Calculamos \(b\): \[b = 3 - 2 = 1\] 9. Recordando que \(a = \log x\) y \(b = \log y\), tenemos: \[\log x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100\] \[\log y = 1 \Rightarrow y = 10^1 = 10\] --- 1. **Clasifica y resuelve el sistema por el método de Gauss:** \[\begin{cases} x - y + z = -1 \\ 2x + y - 7z = -2 \\ -3x + 2y = 3 \end{cases}\] 2. Escribimos la matriz aumentada: \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -7 & -2 \\ -3 & 2 & 0 & 3 \end{array}\right] \] 3. Usamos la fila 1 para eliminar en filas 2 y 3: \[F2 \to F2 - 2F1: (2 - 2\cdot1, 1 - 2\cdot(-1), -7 - 2\cdot1, -2 - 2\cdot(-1)) = (0, 3, -9, 0)\] \[F3 \to F3 + 3F1: (-3 + 3\cdot1, 2 + 3\cdot(-1), 0 + 3\cdot1, 3 + 3\cdot(-1)) = (0, -1, 3, 0)\] 4. Matriz actual: \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -9 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 0 \end{array}\right] \] 5. Usamos fila 2 para eliminar en fila 3: \[F3 \to F3 + \frac{1}{3}F2: (0, -1 + \frac{1}{3}\cdot3, 3 + \frac{1}{3}\cdot(-9), 0 + \frac{1}{3}\cdot0) = (0, 0, 0, 0)\] 6. La última fila es cero, sistema compatible indeterminado. 7. De fila 2: \[3y - 9z = 0 \Rightarrow y = 3z\] 8. De fila 1: \[x - y + z = -1 \Rightarrow x - 3z + z = -1 \Rightarrow x - 2z = -1 \Rightarrow x = -1 + 2z\] 9. Solución general: \[\boxed{(x,y,z) = (-1 + 2t, 3t, t), \quad t \in \mathbb{R}}\] --- 1. **Halla el dominio de la función:** \[f(x) = \sqrt{\frac{x+3}{x-5}}\] 2. La expresión dentro de la raíz debe ser \(\geq 0\) y el denominador \(\neq 0\): \[\frac{x+3}{x-5} \geq 0, \quad x \neq 5\] 3. Estudiamos signos: - Numerador \(x+3=0 \Rightarrow x=-3\) - Denominador \(x-5=0 \Rightarrow x=5\) 4. Intervalos: - \(( -\infty, -3 )\) - \(( -3, 5 )\) - \(( 5, +\infty )\) 5. Probamos signos: - Para \(x=-4\): \(\frac{-4+3}{-4-5} = \frac{-1}{-9} > 0\) - Para \(x=0\): \(\frac{3}{-5} < 0\) - Para \(x=6\): \(\frac{9}{1} > 0\) 6. Por tanto: \[\frac{x+3}{x-5} \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -3] \cup (5, +\infty)\] 7. Recordamos que \(x \neq 5\), ya excluido. 8. Dominio: \[\boxed{(-\infty, -3] \cup (5, +\infty)}\] --- 1. **Calcula el límite:** \[\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x^2 - 9}\] 2. Evaluamos directamente: \[\frac{\sqrt{4} - 2}{9 - 9} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}\] indeterminación. 3. Multiplicamos por conjugado para eliminar raíz: \[\frac{\sqrt{x+1} - 2}{x^2 - 9} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + 2}{\sqrt{x+1} + 2} = \frac{(x+1) - 4}{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \frac{x - 3}{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+1} + 2)}\] 4. Cancelamos \(x-3\): \[= \frac{\cancel{x-3}}{\cancel{x-3}(x+3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \frac{1}{(x+3)(\sqrt{x+1} + 2)}\] 5. Evaluamos límite sustituyendo \(x=3\): \[\frac{1}{(3+3)(\sqrt{4} + 2)} = \frac{1}{6 \cdot (2 + 2)} = \frac{1}{6 \cdot 4} = \frac{1}{24}\] 6. Resultado: \[\boxed{\frac{1}{24}}\] --- 1. **Función:** \[f(x) = \frac{3}{x^2 - 9}\] **a) Asíntotas:** 2. Denominador \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\), asíntotas verticales en \(x=3\) y \(x=-3\). 3. Asíntota horizontal: grado numerador 0, denominador 2, asíntota \(y=0\). 4. Estudiamos posición relativa a \(x=3\): - Para \(x \to 3^-\), \(x^2 - 9 \to 0^-\), \(f(x) \to -\infty\). - Para \(x \to 3^+\), \(x^2 - 9 \to 0^+\), \(f(x) \to +\infty\). 5. Estudiamos posición relativa a \(x=-3\): - Para \(x \to -3^-\), \(x^2 - 9 \to 0^+\), \(f(x) \to +\infty\). - Para \(x \to -3^+\), \(x^2 - 9 \to 0^-\), \(f(x) \to -\infty\). **b) Monotonía y extremos:** 6. Derivada: \[f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 - 9) - 3 \cdot 2x}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-6x}{(x^2 - 9)^2}\] 7. El denominador siempre positivo salvo en \(x=\pm 3\) (excluidos). 8. Signo de \(f'(x)\) depende de \(-6x\): - Para \(x > 0\), \(f'(x) < 0\) decreciente. - Para \(x < 0\), \(f'(x) > 0\) creciente. 9. Punto crítico en \(x=0\). 10. Evaluamos \(f(0) = \frac{3}{0 - 9} = -\frac{1}{3}\). 11. \(f\) crece en \(( -\infty, 0 )\), decrece en \(( 0, +\infty )\), por tanto \(x=0\) es máximo relativo. 12. Resumen: - Asíntotas verticales: \(x = -3, 3\) - Asíntota horizontal: \(y=0\) - Máximo relativo en \(x=0\) con \(f(0) = -\frac{1}{3}\) \[\boxed{\text{Asíntotas: } x=\pm 3, y=0; \quad \text{Máximo en } (0, -\frac{1}{3})}\]