1. **Énoncé du problème :** Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : a) $(3x - 5)(e^x + 2) = 0$ b) $4e^{-x} + 7xe^{-x} = 0$ 2. **Rappel des règles importantes :** - Un produit est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. - L'exponentielle $e^x$ est toujours strictement positive pour tout $x \in \mathbb{R}$. 3. **Résolution de a) :** On a $(3x - 5)(e^x + 2) = 0$. Cela implique : $$3x - 5 = 0 \quad \text{ou} \quad e^x + 2 = 0$$ - Résolvons $3x - 5 = 0$ : $$3x = 5$$ $$x = \frac{5}{3}$$ - Pour $e^x + 2 = 0$, comme $e^x > 0$ pour tout $x$, $e^x + 2 > 0$ toujours, donc pas de solution ici. **Solution de a) :** $x = \frac{5}{3}$. 4. **Résolution de b) :** L'équation est : $$4e^{-x} + 7xe^{-x} = 0$$ Factorisons $e^{-x}$ : $$e^{-x}(4 + 7x) = 0$$ Comme $e^{-x} > 0$ pour tout $x$, on a : $$4 + 7x = 0$$ Résolvons : $$7x = -4$$ $$x = -\frac{4}{7}$$ **Solution de b) :** $x = -\frac{4}{7}$. 5. **Réponse finale :** - Pour a) : $x = \frac{5}{3}$ - Pour b) : $x = -\frac{4}{7}$