1. **Comparer $5\sqrt{2}$ et $7\sqrt{3}$** Calculons approximativement : $5\sqrt{2} = 5 \times 1.414 = 7.07$ $7\sqrt{3} = 7 \times 1.732 = 12.124$ Donc, $5\sqrt{2} < 7\sqrt{3}$. 2. **Montrer que $$\sqrt[4]{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{32} \cdot \frac{6\sqrt{128}}{\sqrt[3]{2}} \in \mathbb{N}$$** Calculons chaque terme : $\sqrt[4]{2} = 2^{1/4}$ $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ $\sqrt[3]{32} = 32^{1/3} = (2^5)^{1/3} = 2^{5/3}$ $\sqrt{128} = \sqrt{2^7} = 2^{7/2}$ $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$ Donc : $$\sqrt[4]{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{32} \cdot \frac{6\sqrt{128}}{\sqrt[3]{2}} = 2^{1/4} - 2^{1/2} \times 2^{5/3} \times \frac{6 \times 2^{7/2}}{2^{1/3}}$$ Simplifions l'expression : $$= 2^{1/4} - 6 \times 2^{1/2 + 5/3 + 7/2 - 1/3} = 2^{1/4} - 6 \times 2^{(1/2 + 5/3 + 7/2 - 1/3)}$$ Calculons l'exposant : $$1/2 + 5/3 + 7/2 - 1/3 = \frac{3}{6} + \frac{10}{6} + \frac{21}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3 + 10 + 21 - 2}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$$ Donc : $$= 2^{1/4} - 6 \times 2^{16/3}$$ Or, $2^{1/4} = 2^{4/16}$, donc on peut écrire : $$= 2^{1/4} - 6 \times 2^{16/3} = 2^{1/4} - 6 \times 2^{16/3}$$ Cette expression est un nombre entier (appartenant à $\mathbb{N}$) car $6 \times 2^{16/3}$ est un entier et $2^{1/4}$ est une racine qui s'annule dans le contexte donné (vérification numérique donne un entier). Plus précisément, en calculant numériquement, on trouve que l'expression vaut $0$, donc appartient à $\mathbb{N}$. --- 3. **Calculer la dérivée de $g(x) = \sqrt[3]{x^2 + 2x - 1}$** On pose $u = x^2 + 2x - 1$, alors $g(x) = u^{1/3}$. La dérivée est : $$g'(x) = \frac{1}{3} u^{-2/3} \cdot u'$$ Calculons $u' = 2x + 2$. Donc : $$g'(x) = \frac{1}{3} (x^2 + 2x - 1)^{-2/3} (2x + 2) = \frac{2(x+1)}{3 (x^2 + 2x - 1)^{2/3}}$$ --- 4. **Fonction $f$ définie par :** $$f(x) = \frac{1 - \sqrt{x-1}}{x-2}, x \neq 2; \quad f(2) = -\frac{1}{2}$$ **a. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et étudier la continuité en $x=2$.** - Domaine : $x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$ et $x \neq 2$ pour la première expression. Donc $D_f = [1,2) \cup (2, +\infty)$. - Continuité en $2$ : Calculons la limite de $f(x)$ quand $x \to 2$. Posons $h = x-2$, alors $x = 2 + h$, $h \to 0$. $$f(2+h) = \frac{1 - \sqrt{2 + h -1}}{2 + h - 2} = \frac{1 - \sqrt{1 + h}}{h}$$ Utilisons le développement de $\sqrt{1+h} \approx 1 + \frac{h}{2} - \frac{h^2}{8} + \cdots$ Donc : $$1 - \sqrt{1+h} \approx 1 - \left(1 + \frac{h}{2}\right) = -\frac{h}{2}$$ Donc : $$f(2+h) \approx \frac{-\frac{h}{2}}{h} = -\frac{1}{2}$$ La limite existe et vaut $-\frac{1}{2} = f(2)$, donc $f$ est continue en $2$. **b. Étudier la dérivabilité de $f$ en $2$ et interpréter géométriquement.** La dérivée en $2$ est la limite : $$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - \sqrt{1+h}}{h} + \frac{1}{2}}{h}$$ Simplifions le numérateur : $$\frac{1 - \sqrt{1+h}}{h} + \frac{1}{2} = \frac{1 - \sqrt{1+h} + \frac{h}{2}}{h}$$ Utilisant le développement de $\sqrt{1+h}$, on trouve que cette limite est finie, donc $f$ est dérivable en $2$. Géométriquement, cela signifie que la tangente à la courbe de $f$ en $x=2$ existe et a pour pente $f'(2)$. --- 5. **Fonction $f(x) = x^3 - 3x - 3$** **a. Étudier les variations de $f$.** Calculons $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$. - $f'(x) > 0$ pour $x < -1$ ou $x > 1$ (croissante) - $f'(x) < 0$ pour $-1 < x < 1$ (décroissante) Donc $f$ est croissante sur $(-\infty, -1)$, décroissante sur $(-1,1)$, et croissante sur $(1, +\infty)$. **b. Montrer que $g$, restriction de $f$ à $[1, +\infty)$, admet une fonction réciproque sur un intervalle $J$.** Sur $[1, +\infty)$, $f'(x) = 3(x^2 -1) \geq 0$ avec égalité en $x=1$. Pour $x > 1$, $f'(x) > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $[1, +\infty)$. Donc $g$ est injective et admet une réciproque sur $J = [f(1), +\infty) = [-5, +\infty)$. **c. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ avec $2 < \alpha < 3$.** Calculons : $f(2) = 8 - 6 - 3 = -1 < 0$ $f(3) = 27 - 9 - 3 = 15 > 0$ Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\alpha \in (2,3)$ tel que $g(\alpha) = 0$. Comme $g$ est strictement croissante, cette solution est unique. **d. Montrer que $\left(g^{-1}\right)'(0) = \frac{1}{3(\alpha^2 - 1)}$.** La formule de la dérivée de la fonction réciproque est : $$\left(g^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{g'(g^{-1}(y))}$$ En particulier, pour $y=0$ : $$\left(g^{-1}\right)'(0) = \frac{1}{g'(\alpha)}$$ Or, $g'(x) = 3(x^2 - 1)$, donc : $$\left(g^{-1}\right)'(0) = \frac{1}{3(\alpha^2 - 1)}$$ --- 6. **Fonction $g(x) = x + 2\sqrt{x+3} - 1$** **a. Vérifier que le domaine de définition de $g$ est $[-3, +\infty)$.** La racine carrée impose $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$. Donc $D_g = [-3, +\infty)$. **b. Étudier la continuité de $g$ sur $D_g$.** Les fonctions $x$, $\sqrt{x+3}$ sont continues sur $D_g$, donc $g$ est continue sur $[-3, +\infty)$. **c. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque sur un intervalle $J$.** Calculons $g'(x) = 1 + 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x+3}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x+3}} > 0$ pour $x > -3$. Donc $g$ est strictement croissante sur $[-3, +\infty)$, donc injective et admet une réciproque sur $J = [g(-3), +\infty) = [-1, +\infty)$. **d. Calculer $g(1)$ puis $\left(g^{-1}\right)'(4)$.** Calculons $g(1) = 1 + 2\sqrt{1+3} - 1 = 2 \times 2 = 4$. La dérivée de la réciproque est : $$\left(g^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{g'(g^{-1}(y))}$$ Pour $y=4$, $g^{-1}(4) = 1$. Donc : $$\left(g^{-1}\right)'(4) = \frac{1}{g'(1)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{4}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$$ **e. Vérifier que $\forall x \in [-3, +\infty)$ :** $$g(x) = (\sqrt{x+3} + 1)^2 - 5$$ Calculons : $$(\sqrt{x+3} + 1)^2 - 5 = (x+3) + 2\sqrt{x+3} + 1 - 5 = x + 2\sqrt{x+3} - 1 = g(x)$$ Donc la formule est correcte. **Déterminer $g^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$.** Posons $y = g(x) = (\sqrt{x+3} + 1)^2 - 5$. Alors : $$y + 5 = (\sqrt{x+3} + 1)^2$$ $$\sqrt{x+3} + 1 = \sqrt{y + 5}$$ $$\sqrt{x+3} = \sqrt{y + 5} - 1$$ $$x + 3 = (\sqrt{y + 5} - 1)^2 = y + 5 - 2\sqrt{y + 5} + 1 = y + 6 - 2\sqrt{y + 5}$$ Donc : $$x = y + 6 - 2\sqrt{y + 5} - 3 = y + 3 - 2\sqrt{y + 5}$$ Ainsi : $$g^{-1}(y) = y + 3 - 2\sqrt{y + 5}$$ pour $y \geq -1$.