1. **Problem statement:** Schreibe die folgenden Ausdrücke mit positiven Exponenten und kürze, wenn möglich. 2. **Wichtige Regeln:** - Negative Exponenten umschreiben: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ - Potenzen von Produkten: $(ab)^n = a^n b^n$ - Potenzen von Potenzen: $(a^m)^n = a^{mn}$ - Kürzen von gleichen Faktoren im Zähler und Nenner --- ### a) $$\frac{t^2 \cdot s^4}{(-3s)^3 \cdot t^5}$$ 3. Zähler: $t^2 s^4$ 4. Nenner: $(-3)^3 s^3 t^5 = -27 s^3 t^5$ 5. Schreibe Bruch: $$\frac{t^2 s^4}{-27 s^3 t^5}$$ 6. Kürze $s^3$ und $t^2$: $$\frac{\cancel{t^2} s^{4-3}}{-27 \cancel{s^3} \cancel{t^5} t^{5-2}} = \frac{s^1}{-27 t^3} = -\frac{s}{27 t^3}$$ --- ### b) $$\frac{r^{-3} \cdot 4 s^6}{(-3 s^2)^3 \cdot (-3 r)^{-2}}$$ 7. Nenner auflösen: $$(-3 s^2)^3 = (-3)^3 (s^2)^3 = -27 s^6$$ $$(-3 r)^{-2} = \frac{1}{(-3 r)^2} = \frac{1}{9 r^2}$$ 8. Nenner insgesamt: $$-27 s^6 \cdot \frac{1}{9 r^2} = \frac{-27 s^6}{9 r^2} = -3 \frac{s^6}{r^2}$$ 9. Bruch: $$\frac{r^{-3} \cdot 4 s^6}{-3 \frac{s^6}{r^2}} = \frac{4 r^{-3} s^6}{-3 s^6 r^{-2}}$$ 10. Kürze $s^6$: $$\frac{4 r^{-3} \cancel{s^6}}{-3 \cancel{s^6} r^{-2}} = \frac{4 r^{-3}}{-3 r^{-2}}$$ 11. Schreibe negative Exponenten: $$\frac{4 \frac{1}{r^3}}{-3 \frac{1}{r^2}} = \frac{4}{r^3} \cdot \frac{r^2}{-3} = \frac{4 r^2}{-3 r^3}$$ 12. Kürze $r^2$: $$\frac{4 \cancel{r^2}}{-3 r^{3-2} \cancel{r^2}} = \frac{4}{-3 r} = -\frac{4}{3 r}$$ --- ### c) $$\frac{4 r^2 \cdot s^{-3}}{(-2 r)^4 \cdot (5 s)^{-2}}$$ 13. Nenner auflösen: $$(-2 r)^4 = (-2)^4 r^4 = 16 r^4$$ $$ (5 s)^{-2} = \frac{1}{(5 s)^2} = \frac{1}{25 s^2}$$ 14. Nenner insgesamt: $$16 r^4 \cdot \frac{1}{25 s^2} = \frac{16 r^4}{25 s^2}$$ 15. Bruch: $$\frac{4 r^2 s^{-3}}{\frac{16 r^4}{25 s^2}} = 4 r^2 s^{-3} \cdot \frac{25 s^2}{16 r^4} = \frac{4 \cdot 25}{16} \cdot \frac{r^2}{r^4} \cdot s^{-3+2} = \frac{100}{16} r^{-2} s^{-1}$$ 16. Kürze Bruch: $$\frac{100}{16} = \frac{25}{4}$$ 17. Schreibe negative Exponenten positiv: $$\frac{25}{4} \cdot \frac{1}{r^2} \cdot \frac{1}{s} = \frac{25}{4 r^2 s}$$ --- ### d) $$\frac{(5 t)^4 \cdot (-3 k)^{-3}}{-125 t^3 \cdot (6 k)^{-4}}$$ 18. Zähler auflösen: $$(5 t)^4 = 5^4 t^4 = 625 t^4$$ $$(-3 k)^{-3} = \frac{1}{(-3 k)^3} = \frac{1}{-27 k^3} = -\frac{1}{27 k^3}$$ 19. Zähler insgesamt: $$625 t^4 \cdot \left(-\frac{1}{27 k^3}\right) = -\frac{625 t^4}{27 k^3}$$ 20. Nenner auflösen: $$-125 t^3 \cdot (6 k)^{-4} = -125 t^3 \cdot \frac{1}{(6 k)^4} = -125 t^3 \cdot \frac{1}{1296 k^4} = -\frac{125 t^3}{1296 k^4}$$ 21. Bruch: $$\frac{-\frac{625 t^4}{27 k^3}}{-\frac{125 t^3}{1296 k^4}} = \frac{625 t^4}{27 k^3} \cdot \frac{1296 k^4}{125 t^3}$$ 22. Kürze Faktoren: $$\frac{625}{125} = 5$$ $$\frac{t^4}{t^3} = t^{4-3} = t$$ $$\frac{k^4}{k^3} = k^{4-3} = k$$ 23. Ergebnis: $$5 \cdot t \cdot k \cdot \frac{1296}{27} = 5 t k \cdot 48 = 240 t k$$ --- **Endergebnisse:** - a) $-\frac{s}{27 t^3}$ - b) $-\frac{4}{3 r}$ - c) $\frac{25}{4 r^2 s}$ - d) $240 t k$