1. **Probleem:** Controleer of de uitdrukking $\sqrt{25^{4a}}$ correct is vereenvoudigd. Formule: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Stap 1: Schrijf de wortel als macht: $$\sqrt{25^{4a}} = (25^{4a})^{1/2}$$ Stap 2: Vermenigvuldig de exponenten: $$25^{4a \times \frac{1}{2}} = 25^{2a}$$ Stap 3: Schrijf 25 als $5^2$: $$ (5^2)^{2a} = 5^{4a}$$ Conclusie: De uitdrukking is correct vereenvoudigd tot $5^{4a}$. 2. **Probleem:** Controleer $\sqrt[3]{25^{6a}}$. Formule: $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$. Stap 1: $$\sqrt[3]{25^{6a}} = (25^{6a})^{1/3}$$ Stap 2: $$25^{6a \times \frac{1}{3}} = 25^{2a}$$ Stap 3: $$ (5^2)^{2a} = 5^{4a}$$ Conclusie: Correct vereenvoudigd tot $5^{4a}$. 3. **Probleem:** Vereenvoudig $$\left(a^{-1} b^{-\frac{3}{4}} c^{\frac{1}{2}}\right)^6 \cdot \left(a^{-2} b^{-4} c^{6}\right)^{\frac{1}{2}}$$ Stap 1: Pas machten toe: $$a^{-6} b^{-\frac{18}{4}} c^{3} \cdot a^{-1} b^{-2} c^{3}$$ Stap 2: Tel exponenten bij elkaar op: $$a^{-6 + (-1)} b^{-\frac{18}{4} + (-2)} c^{3 + 3} = a^{-7} b^{-\frac{18}{4} - 2} c^{6}$$ Stap 3: Vereenvoudig breuken: $$-\frac{18}{4} - 2 = -\frac{18}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{26}{4} = -\frac{13}{2}$$ Dus: $$a^{-7} b^{-\frac{13}{2}} c^{6}$$ Conclusie: De oorspronkelijke oplossing bevat fouten; de correcte vereenvoudiging is $a^{-7} b^{-\frac{13}{2}} c^{6}$. 4. **Probleem:** Vereenvoudig $$\frac{\sqrt[5]{a^3 b} \cdot \sqrt{a b^3}}{a \sqrt{a b}}$$ Stap 1: Schrijf wortels als machten: $$\frac{a^{\frac{3}{5}} b^{\frac{1}{5}} \cdot a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{3}{2}}}{a^{1} a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}}$$ Stap 2: Tel machten in teller op: $$a^{\frac{3}{5} + \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{5} + \frac{3}{2}} = a^{\frac{6}{10} + \frac{5}{10}} b^{\frac{2}{10} + \frac{15}{10}} = a^{\frac{11}{10}} b^{\frac{17}{10}}$$ Stap 3: Tel machten in noemer op: $$a^{1 + \frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}}$$ Stap 4: Deel machten: $$a^{\frac{11}{10} - \frac{3}{2}} b^{\frac{17}{10} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{11}{10} - \frac{15}{10}} b^{\frac{17}{10} - \frac{5}{10}} = a^{-\frac{4}{10}} b^{\frac{12}{10}} = a^{-\frac{2}{5}} b^{\frac{6}{5}}$$ Conclusie: De correcte vereenvoudiging is $\frac{b^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{2}{5}}}$. 5. **Probleem:** Vereenvoudig $$\sqrt{\sqrt{x^2} \sqrt{x}}$$ Stap 1: Schrijf wortels als machten: $$\sqrt{ x^{1} \cdot x^{\frac{1}{2}} } = \sqrt{ x^{\frac{3}{2}} }$$ Stap 2: Nogmaals wortel: $$ (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}$$ Conclusie: De correcte vereenvoudiging is $x^{\frac{3}{4}}$. 6. **Probleem:** Bereken $$\left(-\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}$$ Stap 1: Cube root van breuk is breuk van cube roots: $$\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{-2}{3}$$ Conclusie: Correct, resultaat is $-\frac{2}{3}$. 7. **Probleem:** Vereenvoudig $$(\frac{1}{4} x^5)^2$$ Stap 1: Pas macht toe: $$ (\frac{1}{4})^2 x^{10} = \frac{1}{16} x^{10}$$ Conclusie: Correct vereenvoudigd. **Samenvatting:** Problemen 1, 2, 6 en 7 zijn correct. Problemen 3, 4 en 5 bevatten fouten en zijn hierboven gecorrigeerd.