1. Planteamos el problema: Dadas las ecuaciones $$3^x + 3^{-x} = \pi$$ y $$3^{2x} + e^{2(-x)} = \pi^2$$, hallar $$9^x + 9^{-x}$$. 2. Observamos que $$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$$ y $$9^{-x} = 3^{-2x}$$. 3. Definimos $$a = 3^x$$, entonces $$3^{-x} = \frac{1}{a}$$. 4. La primera ecuación es $$a + \frac{1}{a} = \pi$$. 5. Elevamos al cuadrado ambos lados para relacionar con la segunda ecuación: $$\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = \pi^2$$ $$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = \pi^2$$ 6. De aquí despejamos: $$a^2 + \frac{1}{a^2} = \pi^2 - 2$$ 7. Notamos que $$a^2 = 3^{2x}$$ y $$\frac{1}{a^2} = 3^{-2x}$$, por lo que: $$9^x + 9^{-x} = a^2 + \frac{1}{a^2} = \pi^2 - 2$$. 8. Por lo tanto, la respuesta es: $$\boxed{9^x + 9^{-x} = \pi^2 - 2}$$.