1. **المشكلة:** لدينا دالة كسرية بالشكل $$\frac{2^{n+3} - 20}{2^{n+1} - 5}$$ ونريد فهم شكلها وسلوكها. 2. **صيغة الدالة:** الدالة هي نسبة بين تعبيرين أسّيّين مع تعديل ثابت في كل من البسط والمقام. 3. **تبسيط الدالة:** - نلاحظ أن $$2^{n+3} = 2^3 \times 2^n = 8 \times 2^n$$ - و $$2^{n+1} = 2^1 \times 2^n = 2 \times 2^n$$ لذا يمكن كتابة الدالة كالتالي: $$\frac{8 \times 2^n - 20}{2 \times 2^n - 5}$$ 4. **تحليل السلوك:** - عندما يكون $$n$$ كبيرًا جدًا، تصبح الثوابت 20 و5 صغيرة مقارنة مع القوى، لذا: $$\lim_{n \to \infty} \frac{8 \times 2^n - 20}{2 \times 2^n - 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{8 \times 2^n}{2 \times 2^n} = 4$$ - عندما يكون $$n$$ صغيرًا جدًا (سالب كبير)، تصبح القوى صغيرة جدًا، ونحتاج لتقييم القيم بدقة. 5. **النقاط التي تجعل المقام صفر:** - نحل المعادلة $$2 \times 2^n - 5 = 0$$ - أي $$2^{n+1} = 5$$ - نأخذ اللوغاريتم: $$n+1 = \log_2 5$$ $$n = \log_2 5 - 1$$ هذه نقطة عدم استمرارية للدالة (مقام صفر). 6. **ملخص:** - الدالة تمثل كسرًا بين دوال أسية. - لها نقطة عدم استمرارية عند $$n = \log_2 5 - 1$$. - تقترب من 4 عندما $$n$$ كبير جدًا.