1. **Problemstellung:** Überprüfe, ob die Punkte P(2 | 14) und Q(3 | 49) auf dem Graphen der Funktion $f(x) = 2 \cdot 3^x - 4$ liegen. 2. **Formel:** Für einen Punkt $(x,y)$ liegt dieser auf dem Graphen, wenn $y = f(x)$ gilt. 3. **Punkt P(2 | 14) überprüfen:** Berechne $f(2) = 2 \cdot 3^2 - 4 = 2 \cdot 9 - 4 = 18 - 4 = 14$. Da $f(2) = 14$ stimmt, liegt P auf dem Graphen. 4. **Punkt Q(3 | 49) überprüfen:** Berechne $f(3) = 2 \cdot 3^3 - 4 = 2 \cdot 27 - 4 = 54 - 4 = 50$. Da $f(3) = 50 \neq 49$, liegt Q nicht auf dem Graphen. --- 1. **Problemstellung:** Löse die Gleichungen: a) $2 \cdot 3^x = 486$ b) $3 \cdot 2^x - 7 = 17$ c) $2025 - 2^{2x} + 21 = 1982$ 2. **Lösungen:** a) $2 \cdot 3^x = 486 \Rightarrow 3^x = \frac{486}{2} = 243$ Da $243 = 3^5$, folgt $x = 5$. b) $3 \cdot 2^x - 7 = 17 \Rightarrow 3 \cdot 2^x = 24 \Rightarrow 2^x = 8$ Da $8 = 2^3$, folgt $x = 3$. c) $2025 - 2^{2x} + 21 = 1982 \Rightarrow 2046 - 2^{2x} = 1982 \Rightarrow 2^{2x} = 2046 - 1982 = 64$ Da $64 = 2^6$, gilt $2x = 6 \Rightarrow x = 3$. --- 1. **Problemstellung:** Modellrechnung zur Anzahl der Chamäleons mit $f(t) = 4000 \cdot 1{,}02^t$ (t in Jahren seit 2000). 2. **Aufgaben:** a) Wann gibt es 5600 Chamäleons? b) Wann sind es 4000 Chamäleons mehr als im Jahr 2000? c) Wie viele Chamäleons sind es im Jahr 2050? 3. **Lösungen:** a) Setze $f(t) = 5600$: $$4000 \cdot 1{,}02^t = 5600 \Rightarrow 1{,}02^t = \frac{5600}{4000} = 1{,}4$$ Logarithmieren: $$t = \frac{\log(1{,}4)}{\log(1{,}02)} \approx \frac{0{,}1461}{0{,}0086} \approx 17$$ Also nach ca. 17 Jahren, also im Jahr $2000 + 17 = 2017$. b) 4000 Chamäleons mehr als im Jahr 2000 bedeutet $f(t) = 4000 + 4000 = 8000$: $$4000 \cdot 1{,}02^t = 8000 \Rightarrow 1{,}02^t = 2$$ Logarithmieren: $$t = \frac{\log(2)}{\log(1{,}02)} \approx \frac{0{,}3010}{0{,}0086} \approx 35$$ Also im Jahr $2000 + 35 = 2035$. c) Für das Jahr 2050 ist $t = 2050 - 2000 = 50$: $$f(50) = 4000 \cdot 1{,}02^{50} \approx 4000 \cdot 2{,}6916 = 10766$$ Es gibt ca. 10766 Chamäleons im Jahr 2050.