1. **Problemstellung:** Untersuche die Funktionen $f(x) = 1{,}5^x$, $g(x) = 3 \cdot 1{,}5^x$, $h(x) = -3 \cdot 1{,}5^x$ und $f(x) = 0{,}25^x$, $g(x) = 2 \cdot 0{,}25^x$, $h(x) = -2 \cdot 0{,}25^x$. Erkläre, wie sich die Parameter $a$ in der Funktion $f(x) = a \cdot b^x$ auf die normale Exponentialfunktion $g(x) = b^x$ auswirken. 2. **Formel:** Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion ist $$f(x) = a \cdot b^x,$$ wobei $a$ der Anfangswert (y-Achsenabschnitt) und $b$ die Basis ist. 3. **Wichtige Regeln:** - Der y-Achsenabschnitt ist bei $x=0$ immer $f(0) = a \cdot b^0 = a \cdot 1 = a$. - Die Asymptote der Funktion ist die x-Achse, also $y=0$. - Wenn $a$ positiv ist, verläuft die Funktion oberhalb der x-Achse, bei negativem $a$ spiegelt sie sich an der x-Achse. 4. **Zwischenschritte für $f(x) = 3 \cdot 1{,}5^x$:** - Setze $x=0$: $$f(0) = 3 \cdot 1{,}5^0 = 3 \cdot 1 = 3.$$ Der y-Achsenabschnitt ist 3. 5. **Zwischenschritte für $h(x) = -3 \cdot 1{,}5^x$:** - Setze $x=0$: $$h(0) = -3 \cdot 1{,}5^0 = -3 \cdot 1 = -3.$$ Der y-Achsenabschnitt ist -3, Funktion spiegelt sich an der x-Achse. 6. **Für $f(x) = 0{,}25^x$ und $g(x) = 2 \cdot 0{,}25^x$:** - $f(0) = 1$, da $a=1$ implizit. - $g(0) = 2 \cdot 1 = 2$. 7. **Parameter $a$ beeinflusst:** - Den y-Achsenabschnitt direkt, da $f(0) = a$. - Die Funktion wird gestreckt, wenn $|a| > 1$, oder gestaucht, wenn $|a| < 1$. - Bei negativem $a$ wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt. 8. **Asymptote:** Unabhängig von $a$ ist die Asymptote immer $y=0$. **Endergebnis:** - Der Parameter $a$ verschiebt den y-Achsenabschnitt auf $y=a$. - Die Asymptote bleibt $y=0$. - Die Form der Kurve wird durch $a$ gestreckt, gestaucht oder gespiegelt.