1. **Problemstellung:** Gegeben sind zwei Punkte $A(2,2)$ und $B(4,4.5)$, und wir sollen eine Exponentialfunktion der Form $y = a \cdot b^x$ finden, die durch diese Punkte verläuft. 2. **Formel und Regeln:** Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion ist $$y = a \cdot b^x$$ mit $a$ als Anfangswert und $b$ als Wachstumsfaktor. 3. **Aufstellen der Gleichungen:** Für Punkt $A(2,2)$ gilt $$2 = a \cdot b^2$$ und für Punkt $B(4,4.5)$ gilt $$4.5 = a \cdot b^4$$. 4. **Gleichungssystem lösen:** Dividiere die zweite Gleichung durch die erste, um $a$ zu eliminieren: $$\frac{4.5}{2} = \frac{a \cdot b^4}{a \cdot b^2} = b^{4-2} = b^2$$ 5. **Zwischenschritt mit Kürzung:** $$\frac{\cancel{a} \cdot b^4}{\cancel{a} \cdot b^2} = b^{2}$$ 6. **Berechnung von $b$:** $$b^2 = \frac{4.5}{2} = 2.25$$ $$b = \sqrt{2.25} = 1.5$$ 7. **Berechnung von $a$:** Setze $b=1.5$ in die erste Gleichung ein: $$2 = a \cdot (1.5)^2 = a \cdot 2.25$$ 8. **Zwischenschritt mit Kürzung:** $$a = \frac{2}{2.25} = \frac{2}{\cancel{2.25}} = \frac{8}{9}$$ 9. **Endergebnis:** Die Exponentialfunktion lautet $$y = \frac{8}{9} \cdot (1.5)^x$$