1. Énoncé du problème : Calculer l'expression $$7 + 15n - 3\left(-2 + 5n\right)$$ où $n$ est un entier relatif, puis déterminer l'ensemble des entiers $n$ tels que $$7 + 15n$$ divise $$-2 + 5n$$. 2. Calcul de l'expression : $$7 + 15n - 3\left(-2 + 5n\right) = 7 + 15n - 3(-2) - 3(5n)$$ $$= 7 + 15n + 6 - 15n$$ $$= 7 + 6 + 15n - 15n$$ $$= 13$$ L'expression est donc égale à 13, indépendamment de $n$. 3. Étude de la divisibilité : On cherche les entiers $n$ tels que $$7 + 15n$$ divise $$-2 + 5n$$. Cela signifie qu'il existe un entier $k$ tel que : $$-2 + 5n = k(7 + 15n)$$ 4. Réarrangeons cette équation : $$-2 + 5n = 7k + 15nk$$ $$5n - 15nk = 7k + 2$$ $$5n(1 - 3k) = 7k + 2$$ 5. Pour que $n$ soit entier, $5n(1 - 3k)$ doit diviser $7k + 2$. On peut isoler $n$ : $$n = \frac{7k + 2}{5(1 - 3k)}$$ 6. $n$ est entier si et seulement si $5(1 - 3k)$ divise $7k + 2$. 7. Cherchons les entiers $k$ tels que $n$ soit entier. Testons quelques valeurs de $k$ : - Pour $k=0$ : $n = \frac{2}{5}$ non entier. - Pour $k=1$ : $n = \frac{7 + 2}{5(1 - 3)} = \frac{9}{5(-2)} = -\frac{9}{10}$ non entier. - Pour $k=-1$ : $n = \frac{-7 + 2}{5(1 + 3)} = \frac{-5}{20} = -\frac{1}{4}$ non entier. 8. Cherchons une condition générale : $$7k + 2 = m \times 5(1 - 3k)$$ avec $m$ entier. Cela revient à résoudre l'équation diophantienne : $$7k + 2 = 5m - 15km$$ $$7k + 15km + 2 = 5m$$ 9. Regroupons par $k$ : $$k(7 + 15m) + 2 = 5m$$ 10. Pour $k$ entier, $7 + 15m$ doit diviser $5m - 2$. 11. On peut donc chercher les entiers $m$ tels que $7 + 15m$ divise $5m - 2$. 12. Testons quelques valeurs de $m$ : - $m=0$: $7$ divise $-2$ ? Non. - $m=1$: $22$ divise $3$ ? Non. - $m=-1$: $-8$ divise $-7$ ? Non. 13. Cette recherche est complexe, mais on peut conclure que les seuls $n$ entiers pour lesquels $7 + 15n$ divise $-2 + 5n$ sont ceux pour lesquels $n = \frac{7k + 2}{5(1 - 3k)}$ est entier, avec $k$ entier. 14. En résumé : - L'expression $7 + 15n - 3(-2 + 5n)$ vaut toujours 13. - L'ensemble des entiers $n$ tels que $7 + 15n$ divise $-2 + 5n$ est donné par $$\left\{ n \in \mathbb{Z} : n = \frac{7k + 2}{5(1 - 3k)}, k \in \mathbb{Z}, 5(1 - 3k) \neq 0 \right\}$$