1. **Énoncé du problème** : Trouver les expressions de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$ en utilisant la relation $A^n = PD^nP^{-1}$, où $P$ est une matrice inversible, $D$ est une matrice diagonale, et $A$ est une matrice carrée. 2. **Rappel des données** : - $P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ - $D$ est la matrice diagonale obtenue par $P^{-1}AP$ - $A^n = PD^nP^{-1}$ 3. **Calcul de $D^n$** : Puisque $D$ est diagonale, $D^n$ est la matrice diagonale avec les éléments diagonaux élevés à la puissance $n$. 4. **Décomposition de $X_n$** : On a $X_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ et $X_{n+1} = A X_n$. 5. **Utilisation de la diagonalisation** : On pose $Y_n = P^{-1} X_n$, alors $X_n = P Y_n$ et $$ X_{n+1} = A X_n = P D P^{-1} X_n = P D Y_n. $$ Donc, $$ Y_{n+1} = D Y_n. $$ 6. **Résolution de la récurrence sur $Y_n$** : Si $D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$, alors $$ Y_n = \begin{pmatrix} \lambda_1^n y_1 \\ \lambda_2^n y_2 \end{pmatrix} $$ avec $Y_0 = P^{-1} X_0$. 7. **Calcul de $Y_0$** : On connaît $X_0 = \begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \end{pmatrix}$, généralement $a_0=0$, $b_0=1$ (ou selon l'énoncé précédent). 8. **Expression finale** : $$ X_n = P Y_n = P \begin{pmatrix} \lambda_1^n y_1 \\ \lambda_2^n y_2 \end{pmatrix} = a_n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b_n \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} $$ Donc, $$ a_n = \text{expression en fonction de } \lambda_1^n, \lambda_2^n, y_1, y_2 $$ $$ b_n = \text{expression en fonction de } \lambda_1^n, \lambda_2^n, y_1, y_2 $$ **Conclusion** : Les suites $a_n$ et $b_n$ s'expriment comme combinaisons linéaires des puissances des valeurs propres de $A$, déterminées par la diagonalisation $A = P D P^{-1}$.