1. **Problemstellung:** Bestimme die Extrempunkte und Wendepunkte der Funktion $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 1$$ algebraisch, wie im Beispiel gezeigt. 2. **Formeln und Regeln:** - Extrempunkte findet man, indem man die erste Ableitung $$f'(x)$$ gleich Null setzt: $$f'(x) = 0$$ (notwendige Bedingung). - Die Art des Extrempunkts (Hochpunkt oder Tiefpunkt) bestimmt man mit der zweiten Ableitung $$f''(x)$$: - $$f''(x_e) > 0$$ Tiefpunkt - $$f''(x_e) < 0$$ Hochpunkt - Wendepunkte findet man, indem man die zweite Ableitung $$f''(x)$$ gleich Null setzt: $$f''(x) = 0$$ (notwendige Bedingung). - Die dritte Ableitung $$f'''(x)$$ an der Stelle $$x_w$$ muss ungleich Null sein, um einen Wendepunkt zu bestätigen. 3. **Ableitungen berechnen:** $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 1$$ $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right) + \frac{d}{dx}(1) = x^2 + 3x + 0 = x^2 + 3x$$ $$f''(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = 2x + 3$$ $$f'''(x) = \frac{d}{dx}(2x + 3) = 2$$ 4. **Extrempunkte bestimmen:** Setze $$f'(x) = 0$$: $$x^2 + 3x = 0$$ $$x(x + 3) = 0$$ Nullproduktregel: - $$x = 0$$ - $$x = -3$$ 5. **Art der Extrempunkte bestimmen mit $$f''(x)$$:** - Für $$x = 0$$: $$f''(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 3 > 0$$ Tiefpunkt - Für $$x = -3$$: $$f''(-3) = 2 \cdot (-3) + 3 = -6 + 3 = -3 < 0$$ Hochpunkt 6. **Koordinaten der Extrempunkte berechnen:** - $$f(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 + \frac{3}{2} \cdot 0^2 + 1 = 1$$ - $$f(-3) = \frac{1}{3} \cdot (-3)^3 + \frac{3}{2} \cdot (-3)^2 + 1 = \frac{1}{3} \cdot (-27) + \frac{3}{2} \cdot 9 + 1 = -9 + 13.5 + 1 = 5.5$$ 7. **Wendepunkte bestimmen:** Setze $$f''(x) = 0$$: $$2x + 3 = 0$$ $$2x = -3$$ $$x = -\frac{3}{2}$$ 8. **Dritte Ableitung prüfen:** $$f'''\left(-\frac{3}{2}\right) = 2 \neq 0$$ => Wendepunkt bestätigt. 9. **Koordinate des Wendepunkts:** $$f\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{3} \left(-\frac{3}{2}\right)^3 + \frac{3}{2} \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) + \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} + 1 = -\frac{9}{8} + \frac{27}{8} + 1 = \frac{18}{8} + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4} = 3.25$$ **Endergebnis:** - Hochpunkt bei $$\left(-3, 5.5\right)$$ - Tiefpunkt bei $$\left(0, 1\right)$$ - Wendepunkt bei $$\left(-\frac{3}{2}, 3.25\right)$$