1. Problema: Factorizar los siguientes polinomios. 2. a) $2x^2 - 18$ - Sacamos factor común: $2(x^2 - 9)$ - Reconocemos diferencia de cuadrados: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ - Resultado: $2(x - 3)(x + 3)$ 3. b) $3x^2 + 30x + 75$ - Sacamos factor común: $3(x^2 + 10x + 25)$ - Trinomio cuadrado perfecto: $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$ - Resultado: $3(x + 5)^2$ 4. c) $5x^3 + 40$ - Sacamos factor común: $5(x^3 + 8)$ - Suma de cubos: $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ - Resultado: $5(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ 5. d) $30a^4x - 15a^3xz - 10a^3y + 5a^2yz$ - Sacamos factor común: $5a^2$ - Queda: $5a^2(6a^2x - 3axz - 2ay + yz)$ - Agrupamos: $5a^2[(6a^2x - 3axz) - (2ay - yz)]$ - Factor común en cada grupo: $5a^2[3ax(2a - z) - y(2a - z)]$ - Factor común $(2a - z)$: $5a^2(2a - z)(3ax - y)$ 6. e) $2ax^2 + 6ax - 20a$ - Sacamos factor común: $2a(x^2 + 3x - 10)$ - Factorizamos trinomio: $x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)$ - Resultado: $2a(x + 5)(x - 2)$ 7. f) $x^4 - 81$ - Diferencia de cuadrados: $x^4 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)$ - $x^2 - 9$ es diferencia de cuadrados: $(x - 3)(x + 3)$ - Resultado: $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$ 8. g) $x^3 + x^2 - 9x - 9$ - Agrupamos: $(x^3 + x^2) - (9x + 9)$ - Factor común: $x^2(x + 1) - 9(x + 1)$ - Factor común $(x + 1)$: $(x + 1)(x^2 - 9)$ - $x^2 - 9$ diferencia de cuadrados: $(x - 3)(x + 3)$ - Resultado: $(x + 1)(x - 3)(x + 3)$ 9. h) $x^4 + ax^3 + 8x + 8a$ - Agrupamos: $(x^4 + ax^3) + (8x + 8a)$ - Factor común: $x^3(x + a) + 8(x + a)$ - Factor común $(x + a)$: $(x + a)(x^3 + 8)$ - $x^3 + 8$ suma de cubos: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ - Resultado: $(x + a)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ 10. i) $x^4 - 2x^2 + 1$ - Reconocemos trinomio cuadrado perfecto: $(x^2)^2 - 2(x^2)(1) + 1^2 = (x^2 - 1)^2$ - $x^2 - 1$ diferencia de cuadrados: $(x - 1)(x + 1)$ - Resultado: $(x - 1)^2(x + 1)^2$