1. **Постановка задачі:** Дано натуральне число $n > 1$. Потрібно знайти найменшу кількість натуральних чисел, факторіали яких у сумі дорівнюють $n! - 1$. 2. **Визначення факторіалу:** Факторіал натурального числа $k$ позначається як $k!$ і дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до $k$, тобто $$k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k.$$ 3. **Важливе спостереження:** Різниця між послідовними факторіалами: $$ (n+1)! - n! = (n+1) \cdot n! - n! = n \cdot n!.$$ Це допомагає розкласти $n! - 1$ у вигляді суми різниць факторіалів. 4. **Розклад $n! - 1$ у суму:** Запишемо: $$ n! - 1 = (n! - (n-1)!) + ((n-1)! - (n-2)!) + ... + (2! - 1!). $$ 5. **Перетворення кожної різниці:** Кожна різниця має вигляд: $$ k! - (k-1)! = (k-1) \cdot (k-1)! $$ Отже, $$ n! - 1 = (n-1) \cdot (n-1)! + (n-2) \cdot (n-2)! + ... + 2 \cdot 2! + 1 \cdot 1!. $$ 6. **Підрахунок кількості чисел:** Сума коефіцієнтів: $$ 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}. $$ Це означає, що щоб отримати $n! - 1$, можна взяти: - $1$ раз $1!$ - $2$ рази $2!$ - $3$ рази $3!$ - ... - $(n-1)$ разів $(n-1)!$ Всього буде $\frac{(n-1)n}{2}$ чисел. 7. **Доведення мінімальності:** Якщо число $k!$ записано більше ніж $k$ разів, то можна замінити $(k+1)$ таких чисел на одне число $(k+1)!$, бо $$ (k+1)! = (k+1) \cdot k!. $$ Це зменшить загальну кількість чисел. 8. **Висновок:** У мінімальному наборі число $k!$ не може бути записане більше ніж $k$ разів. Тоді максимальна сума факторіалів, яку можна отримати, дорівнює $$ \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot k! = n! - 1. $$ Отже, найменша кількість чисел дорівнює $$ \frac{(n-1)n}{2}. $$ **Відповідь:** найменша кількість виписаних чисел дорівнює $\frac{(n-1)n}{2}$.