1. **Énoncé du problème** : Factoriser au maximum les expressions suivantes : $$D = (2x + 7)^2 - 2x - 7$$ $$E = (3x - 1)^2 - (3x - 1)(2x - 7) + 9x^2 - 1$$ $$F = 4(x^2 - 1) + 17(x - 1)^2$$ $$G = (4x^2 + 12x + 9) - (x - 5)^2$$ 2. **Rappel des règles importantes** : - Pour factoriser, on cherche à écrire l'expression sous forme d'un produit de facteurs. - On peut utiliser les identités remarquables : - $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ - $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ - $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 3. **Calculs intermédiaires et factorisation** : **Expression D** : $$D = (2x + 7)^2 - 2x - 7$$ Développons $(2x + 7)^2$ : $$= 4x^2 + 28x + 49$$ Donc : $$D = 4x^2 + 28x + 49 - 2x - 7 = 4x^2 + (28x - 2x) + (49 - 7) = 4x^2 + 26x + 42$$ Factorisons par 2 : $$D = 2(2x^2 + 13x + 21)$$ Cherchons deux nombres dont le produit est $2 \times 21 = 42$ et la somme $13$ : ce sont $6$ et $7$. On décompose : $$2x^2 + 13x + 21 = 2x^2 + 6x + 7x + 21 = 2x(x + 3) + 7(x + 3) = (2x + 7)(x + 3)$$ Donc : $$D = 2(2x + 7)(x + 3)$$ **Expression E** : $$E = (3x - 1)^2 - (3x - 1)(2x - 7) + 9x^2 - 1$$ Développons chaque terme : $$(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$$ $$(3x - 1)(2x - 7) = 6x^2 - 21x - 2x + 7 = 6x^2 - 23x + 7$$ Donc : $$E = (9x^2 - 6x + 1) - (6x^2 - 23x + 7) + 9x^2 - 1$$ $$= 9x^2 - 6x + 1 - 6x^2 + 23x - 7 + 9x^2 - 1$$ $$= (9x^2 - 6x^2 + 9x^2) + (-6x + 23x) + (1 - 7 - 1)$$ $$= 12x^2 + 17x - 7$$ Cherchons deux nombres dont le produit est $12 \times (-7) = -84$ et la somme $17$ : ce sont $21$ et $-4$. Décomposons : $$12x^2 + 21x - 4x - 7 = 3x(4x + 7) - 1(4x + 7) = (3x - 1)(4x + 7)$$ **Expression F** : $$F = 4(x^2 - 1) + 17(x - 1)^2$$ Rappel : $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ Développons $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ Donc : $$F = 4(x - 1)(x + 1) + 17(x^2 - 2x + 1) = 4(x - 1)(x + 1) + 17x^2 - 34x + 17$$ Développons $4(x - 1)(x + 1) = 4(x^2 - 1) = 4x^2 - 4$ Donc : $$F = 4x^2 - 4 + 17x^2 - 34x + 17 = (4x^2 + 17x^2) - 34x + (-4 + 17) = 21x^2 - 34x + 13$$ Cherchons deux nombres dont le produit est $21 \times 13 = 273$ et la somme $-34$. Les facteurs de 273 sont 1, 3, 7, 13, 21, 39, 91, 273. Aucun couple ne fait -34. Donc $F$ ne se factorise pas facilement avec des entiers. **Expression G** : $$G = (4x^2 + 12x + 9) - (x - 5)^2$$ Développons $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$ Donc : $$G = 4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 10x - 25 = (4x^2 - x^2) + (12x + 10x) + (9 - 25) = 3x^2 + 22x - 16$$ Cherchons deux nombres dont le produit est $3 \times (-16) = -48$ et la somme $22$. Les facteurs de -48 qui donnent 22 sont 24 et -2. Décomposons : $$3x^2 + 24x - 2x - 16 = 3x(x + 8) - 2(x + 8) = (3x - 2)(x + 8)$$ 4. **Réponses finales** : $$D = 2(2x + 7)(x + 3)$$ $$E = (3x - 1)(4x + 7)$$ $$F = 21x^2 - 34x + 13 \text{ (non factorisable avec entiers)}$$ $$G = (3x - 2)(x + 8)$$