1. Enunciem el problema: Factoritzar el polinomi $$3x^4 + 3x^3 - 21x^2 - 3x + 18$$. 2. Primer, busquem un factor comú en tots els termes. Observem que tots els coeficients són múltiples de 3, així que podem treure 3 com a factor comú: $$3x^4 + 3x^3 - 21x^2 - 3x + 18 = 3(x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6)$$ 3. Ara, ens centrem en factoritzar el polinomi quart dins del parèntesi: $$x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$$. 4. Intentem factoritzar per agrupació. Separem els termes en dos grups: $$ (x^4 + x^3) + (-7x^2 - x + 6) $$ 5. Factoritzem cada grup: $$ x^3(x + 1) - (7x^2 + x - 6) $$ 6. Factoritzem el segon grup: Busquem factors de $$-6$$ que sumen $$1$$ (coeficient de $$x$$): aquests són $$3$$ i $$-2$$. $$ - (7x^2 + x - 6) = - (7x^2 + 3x - 2x - 6) $$ Agrupem: $$ - [(7x^2 + 3x) - (2x + 6)] = - [x(7x + 3) - 2( x + 3)] $$ No sembla que això ajudi a factoritzar per agrupació directament, així que provem a buscar arrels racionals del polinomi quart. 7. Prova d'arrels racionals amb el teorema de les arrels racionals: possibles arrels són divisors de 6, és a dir, $$\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$$. 8. Provem $$x=1$$: $$1 + 1 - 7 - 1 + 6 = 0$$ Així que $$x=1$$ és una arrel. 9. Fem la divisió sintètica o la divisió polinòmica per dividir $$x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$$ entre $$x - 1$$: Divisió sintètica: Coefficients: 1, 1, -7, -1, 6 Baixem 1 Multipliquem 1*1=1, sumem 1+1=2 Multipliquem 2*1=2, sumem -7+2=-5 Multipliquem -5*1=-5, sumem -1-5=-6 Multipliquem -6*1=-6, sumem 6-6=0 Quocient: $$x^3 + 2x^2 - 5x - 6$$ 10. Ara factoritzem $$x^3 + 2x^2 - 5x - 6$$. 11. Provem arrels racionals de nou: divisors de 6, $$\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$$. Provem $$x=1$$: $$1 + 2 - 5 - 6 = -8 \neq 0$$ Provem $$x=2$$: $$8 + 8 - 10 - 6 = 0$$ Així que $$x=2$$ és una arrel. 12. Dividim $$x^3 + 2x^2 - 5x - 6$$ entre $$x - 2$$: Coefficients: 1, 2, -5, -6 Baixem 1 Multipliquem 1*2=2, sumem 2+2=4 Multipliquem 4*2=8, sumem -5+8=3 Multipliquem 3*2=6, sumem -6+6=0 Quocient: $$x^2 + 4x + 3$$ 13. Factoritzem $$x^2 + 4x + 3$$: Busquem dos nombres que multipliquin 3 i sumin 4: 3 i 1. $$x^2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)$$ 14. Finalment, la facturació completa és: $$3(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 1)$$