1. **Planteamiento del problema:** Dada la función cuadrática $$f(x) = 2x^2 - 4x - 30$$, primero la factorizaremos y luego aplicaremos el Teorema de Bolzano para encontrar un intervalo donde la función cambia de signo. 2. **Factorización:** Para factorizar, primero sacamos factor común si es posible. Aquí, todos los términos son divisibles por 2: $$f(x) = 2(x^2 - 2x - 15)$$ 3. Ahora factorizamos el trinomio dentro del paréntesis. Buscamos dos números que multiplicados den $$-15$$ y sumados den $$-2$$. Estos números son $$-5$$ y $$3$$. $$x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$$ 4. Por lo tanto, la factorización completa es: $$f(x) = 2(x - 5)(x + 3)$$ 5. **Teorema de Bolzano:** Este teorema dice que si una función continua cambia de signo en un intervalo $$[a,b]$$, entonces existe al menos una raíz en ese intervalo. 6. Evaluamos la función en puntos cercanos a las raíces encontradas para confirmar el cambio de signo: - En $$x = -4$$: $$f(-4) = 2(-4 - 5)(-4 + 3) = 2(-9)(-1) = 18 > 0$$ - En $$x = -3$$: $$f(-3) = 2(-3 - 5)(-3 + 3) = 2(-8)(0) = 0$$ - En $$x = 0$$: $$f(0) = 2(0 - 5)(0 + 3) = 2(-5)(3) = -30 < 0$$ 7. Observamos que entre $$x = -4$$ y $$x = 0$$ la función cambia de positivo a negativo, por lo que según el Teorema de Bolzano, hay al menos una raíz en ese intervalo. 8. Las raíces exactas son $$x = 5$$ y $$x = -3$$, que se obtienen al igualar cada factor a cero: $$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$$ $$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$$ **Respuesta final:** La factorización es $$f(x) = 2(x - 5)(x + 3)$$. Según el Teorema de Bolzano, la función cambia de signo y tiene raíces en los intervalos que contienen $$x = -3$$ y $$x = 5$$.