1. Planteamos el problema: Factorizar la función $$f(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$$ y luego aplicar el teorema de Bolzano para encontrar intervalos donde la función cambia de signo. 2. Para factorizar, buscamos raíces racionales posibles usando el teorema del residuo y el teorema de raíces racionales. Los posibles candidatos son divisores de 4: $$\pm1, \pm2, \pm4$$. 3. Evaluamos $$f(1) = 1 - 2 - 3 + 4 + 4 = 4 \neq 0$$, no es raíz. 4. Evaluamos $$f(-1) = 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0$$, por lo tanto $$x = -1$$ es raíz. 5. Dividimos $$f(x)$$ por $$x + 1$$ usando división sintética o larga: $$ \begin{aligned} &x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4 \div (x + 1) = x^3 - 3x^2 + 0x + 4 \end{aligned} $$ 6. Ahora factorizamos $$x^3 - 3x^2 + 4$$. Probamos raíces racionales de nuevo: $$f(1) = 1 - 3 + 4 = 2 \neq 0$$ $$f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$$, entonces $$x=2$$ es raíz. 7. Dividimos $$x^3 - 3x^2 + 4$$ por $$x - 2$$: $$ \begin{aligned} &x^3 - 3x^2 + 0x + 4 \div (x - 2) = x^2 - x - 2 \end{aligned} $$ 8. Factorizamos el trinomio cuadrático: $$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$$ 9. Por lo tanto, la factorización completa es: $$f(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 2)(x + 1) = (x + 1)^2 (x - 2)^2$$ 10. Aplicamos el teorema de Bolzano para encontrar intervalos donde la función cambia de signo. Observamos los valores en puntos cercanos a las raíces: - En $$x = -2$$, $$f(-2) = ((-2)+1)^2((-2)-2)^2 = 1^2 \cdot 4^2 = 16 > 0$$ - En $$x = 0$$, $$f(0) = (1)^2(-2)^2 = 4 > 0$$ - En $$x = 3$$, $$f(3) = (4)^2(1)^2 = 16 > 0$$ 11. Como la función es un cuadrado de factores, $$f(x) \geq 0$$ para todo $$x$$ y no cambia de signo, por lo que no hay intervalos donde cambie de positivo a negativo o viceversa. Respuesta final: $$f(x) = (x + 1)^2 (x - 2)^2$$ y no hay cambios de signo según Bolzano.