1. **Planteamiento del problema:** Factorizar completamente la expresión $$ (2x + 1)^7 + 4x(x+1) + 2 $$. 2. **Observamos la expresión:** Tiene un término elevado a la séptima potencia, un término cuadrático y un término constante. 3. **Primero, expandimos el término $$4x(x+1)$$:** $$4x(x+1) = 4x^2 + 4x$$ 4. **Reescribimos la expresión completa:** $$ (2x + 1)^7 + 4x^2 + 4x + 2 $$ 5. **Intentamos factorizar o simplificar:** El término $$ (2x + 1)^7 $$ es un binomio elevado a potencia, no se puede simplificar más sin expandir, lo cual sería muy largo. 6. **Probamos si la expresión puede factorizarse agrupando:** No hay términos comunes evidentes entre $$ (2x + 1)^7 $$ y $$ 4x^2 + 4x + 2 $$. 7. **Probamos evaluar la expresión para valores simples para detectar factores:** Por ejemplo, para $$x = 0$$: $$ (2(0) + 1)^7 + 4(0)^2 + 4(0) + 2 = 1^7 + 0 + 0 + 2 = 3 $$, no es cero, por lo que $$x=0$$ no es raíz. 8. **Probamos si $$x = -\frac{1}{2}$$ es raíz, ya que anula el binomio:** $$ (2(-\frac{1}{2}) + 1)^7 + 4(-\frac{1}{2})^2 + 4(-\frac{1}{2}) + 2 = 0^7 + 4(\frac{1}{4}) - 2 + 2 = 0 + 1 - 2 + 2 = 1 \neq 0 $$ No es raíz. 9. **Conclusión:** La expresión no tiene factores evidentes y no se puede factorizar más sin expandir el binomio, lo cual no simplifica la expresión. **Respuesta final:** La expresión $$ (2x + 1)^7 + 4x(x+1) + 2 $$ está ya en su forma factorizada más simple.