Factorizacion Polinomio 00Cc56

1. Planteamos el problema: factorizar el polinomio $$12x - 5x^3 + x^4 - 8x^2$$. 2. Ordenamos los términos por potencias de $x$ de mayor a menor para facilitar la factorización: $$x^4 - 5x^3 - 8x^2 + 12x$$ 3. Buscamos el máximo común divisor (MCD) de todos los términos. Todos tienen al menos un factor $x$, así que sacamos $x$ como factor común: $$x(x^3 - 5x^2 - 8x + 12)$$ 4. Ahora factorizamos el polinomio cúbico dentro del paréntesis: $$x^3 - 5x^2 - 8x + 12$$. 5. Usamos el método de agrupación para factorizar: Agrupamos términos: $$(x^3 - 5x^2) + (-8x + 12)$$ 6. Sacamos factor común en cada grupo: $$x^2(x - 5) - 4(2x - 3)$$ 7. Observamos que los factores dentro de los paréntesis no coinciden, intentamos reorganizar los términos para encontrar un factor común: Probamos agrupar como: $$(x^3 - 8x) + (-5x^2 + 12)$$ Sacamos factor común: $$x(x^2 - 8) - 3(5x^2 - 4)$$ No hay factor común evidente, entonces intentamos encontrar raíces racionales del polinomio $x^3 - 5x^2 - 8x + 12$ usando el teorema del factor. 8. Probamos posibles raíces entre los divisores de 12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$. Probamos $x=1$: $$1 - 5 - 8 + 12 = 0$$ Entonces $x=1$ es raíz. 9. Dividimos el polinomio por $(x - 1)$ usando división sintética: Coeficientes: 1 (para $x^3$), -5 (para $x^2$), -8 (para $x$), 12 (constante) División sintética con $x=1$: Bajamos 1 Multiplicamos 1*1=1, sumamos -5+1=-4 Multiplicamos 1*-4=-4, sumamos -8+(-4)=-12 Multiplicamos 1*-12=-12, sumamos 12+(-12)=0 Resultado: $x^2 - 4x - 12$ 10. Factorizamos el trinomio cuadrático $x^2 - 4x - 12$: Buscamos dos números que multiplicados den $-12$ y sumados den $-4$. Esos números son $-6$ y $2$. Entonces: $$x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)$$ 11. Finalmente, la factorización completa es: $$x(x - 1)(x - 6)(x + 2)$$ 12. Respuesta final: $$12x - 5x^3 + x^4 - 8x^2 = x(x - 1)(x - 6)(x + 2)$$