1. El problema es factorizar el polinomio $$8x^3 - x - 5$$. 2. Para factorizar un polinomio cúbico, podemos intentar encontrar una raíz racional usando el teorema del residuo y luego dividir el polinomio por el binomio correspondiente. 3. Probamos posibles raíces racionales que son divisores de 5 (término independiente) sobre divisores de 8 (coeficiente principal): $$\pm1, \pm5, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{5}{2}, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{5}{4}, \pm\frac{1}{8}, \pm\frac{5}{8}$$. 4. Evaluamos el polinomio en $$x=1$$: $$8(1)^3 - 1 - 5 = 8 - 1 - 5 = 2 \neq 0$$. 5. Evaluamos en $$x=-1$$: $$8(-1)^3 - (-1) - 5 = -8 + 1 - 5 = -12 \neq 0$$. 6. Evaluamos en $$x=\frac{1}{2}$$: $$8\left(\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{1}{2} - 5 = 8\left(\frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2} - 5 = 1 - 0.5 - 5 = -4.5 \neq 0$$. 7. Evaluamos en $$x=\frac{5}{2}$$: $$8\left(\frac{5}{2}\right)^3 - \frac{5}{2} - 5 = 8\left(\frac{125}{8}\right) - 2.5 - 5 = 125 - 7.5 = 117.5 \neq 0$$. 8. Evaluamos en $$x=\frac{5}{4}$$: $$8\left(\frac{5}{4}\right)^3 - \frac{5}{4} - 5 = 8\left(\frac{125}{64}\right) - 1.25 - 5 = \frac{1000}{64} - 6.25 = 15.625 - 6.25 = 9.375 \neq 0$$. 9. Evaluamos en $$x=\frac{1}{4}$$: $$8\left(\frac{1}{4}\right)^3 - \frac{1}{4} - 5 = 8\left(\frac{1}{64}\right) - 0.25 - 5 = \frac{8}{64} - 5.25 = 0.125 - 5.25 = -5.125 \neq 0$$. 10. Evaluamos en $$x=-\frac{1}{2}$$: $$8\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \left(-\frac{1}{2}\right) - 5 = 8\left(-\frac{1}{8}\right) + \frac{1}{2} - 5 = -1 + 0.5 - 5 = -5.5 \neq 0$$. 11. Evaluamos en $$x=2$$: $$8(2)^3 - 2 - 5 = 8(8) - 2 - 5 = 64 - 7 = 57 \neq 0$$. 12. Evaluamos en $$x=-\frac{5}{8}$$: $$8\left(-\frac{5}{8}\right)^3 - \left(-\frac{5}{8}\right) - 5 = 8\left(-\frac{125}{512}\right) + \frac{5}{8} - 5 = -\frac{1000}{512} + 0.625 - 5 = -1.953125 + 0.625 - 5 = -6.328125 \neq 0$$. 13. Como ninguna raíz racional funciona, intentamos factorizar usando la fórmula de Cardano o factorización por agrupación. 14. Intentamos escribir $$8x^3 - x - 5$$ como $$(ax + b)(cx^2 + dx + e)$$. 15. Expandiendo: $$ (ax + b)(cx^2 + dx + e) = acx^3 + (ad + bc)x^2 + (ae + bd)x + be $$ 16. Igualamos coeficientes con $$8x^3 - x - 5$$: $$ ac = 8 $$ $$ ad + bc = 0 $$ $$ ae + bd = -1 $$ $$ be = -5 $$ 17. Probamos con $$a=4$$ y $$c=2$$ para que $$ac=8$$. 18. De $$be = -5$$, probamos $$b=1$$ y $$e=-5$$. 19. Entonces: $$ ad + bc = 4d + 2(1) = 4d + 2 = 0 \Rightarrow 4d = -2 \Rightarrow d = -\frac{1}{2} $$ 20. Y: $$ ae + bd = 4(-5) + 1\left(-\frac{1}{2}\right) = -20 - \frac{1}{2} = -20.5 \neq -1 $$ 21. No coincide, probamos $$b=-1$$ y $$e=5$$: $$ ad + bc = 4d + 2(-1) = 4d - 2 = 0 \Rightarrow 4d = 2 \Rightarrow d = \frac{1}{2} $$ 22. Y: $$ ae + bd = 4(5) + (-1)\left(\frac{1}{2}\right) = 20 - \frac{1}{2} = 19.5 \neq -1 $$ 23. Probamos $$a=8$$ y $$c=1$$: 24. Con $$b=1$$ y $$e=-5$$: $$ ad + bc = 8d + 1 = 0 \Rightarrow 8d = -1 \Rightarrow d = -\frac{1}{8} $$ 25. Y: $$ ae + bd = 8(-5) + 1\left(-\frac{1}{8}\right) = -40 - \frac{1}{8} = -40.125 \neq -1 $$ 26. Con $$b=-1$$ y $$e=5$$: $$ ad + bc = 8d - 1 = 0 \Rightarrow 8d = 1 \Rightarrow d = \frac{1}{8} $$ 27. Y: $$ ae + bd = 8(5) + (-1)\left(\frac{1}{8}\right) = 40 - \frac{1}{8} = 39.875 \neq -1 $$ 28. No se encuentra factorización simple con coeficientes racionales. 29. Por lo tanto, el polinomio $$8x^3 - x - 5$$ es irreducible sobre los racionales y se puede expresar como: $$8x^3 - x - 5 = 0$$ 30. Para encontrar raíces reales, se puede usar la fórmula de Cardano o métodos numéricos. 31. La factorización exacta con números reales involucra raíces cúbicas complejas y no es simple. **Respuesta final:** El polinomio $$8x^3 - x - 5$$ no se factoriza fácilmente con coeficientes racionales y es irreducible en $$\mathbb{Q}[x]$$.