Factorizacion Polynomial 1F9D85

1. Planteamos el problema: factorizar la expresión $$12x - 5x^3 + x^4 - 8x^2$$. 2. Ordenamos los términos según las potencias de $$x$$ para facilitar la factorización: $$x^4 - 5x^3 - 8x^2 + 12x$$. 3. Sacamos factor común de los términos donde sea posible. Observamos que todos los términos tienen al menos un factor $$x$$: $$x^4 - 5x^3 - 8x^2 + 12x = x(x^3 - 5x^2 - 8x + 12)$$ 4. Ahora factorizamos el polinomio cúbico dentro del paréntesis: $$x^3 - 5x^2 - 8x + 12$$. 5. Buscamos raíces racionales posibles usando el teorema del factor racional. Los divisores de 12 son $$\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$$. 6. Probamos con $$x=1$$: $$1^3 - 5(1)^2 - 8(1) + 12 = 1 - 5 - 8 + 12 = 0$$ Por lo tanto, $$x=1$$ es raíz y $$x-1$$ es factor. 7. Dividimos $$x^3 - 5x^2 - 8x + 12$$ entre $$x-1$$ usando división sintética o larga: $$\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -5 & -8 & 12 \\ & & 1 & -4 & -12 \\ \hline & 1 & -4 & -12 & 0 \\ \end{array}$$ El cociente es $$x^2 - 4x - 12$$. 8. Factorizamos el trinomio $$x^2 - 4x - 12$$: Buscamos dos números que multiplicados den $$-12$$ y sumados den $$-4$$. Estos números son $$-6$$ y $$2$$. 9. Por lo tanto: $$x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)$$. 10. Finalmente, la factorización completa es: $$12x - 5x^3 + x^4 - 8x^2 = x(x - 1)(x - 6)(x + 2)$$.