1. El problema es factorizar el polinomio $$x^2 + x + 1$$. 2. Para factorizar un trinomio cuadrático de la forma $$ax^2 + bx + c$$, buscamos dos números que multiplicados den $$ac$$ y sumados den $$b$$. 3. En este caso, $$a=1$$, $$b=1$$ y $$c=1$$, entonces buscamos dos números que multiplicados den $$1 \times 1 = 1$$ y sumados den $$1$$. 4. Los números que cumplen esto son $$1$$ y $$0$$, pero $$0$$ no ayuda a factorizar el trinomio en factores lineales con coeficientes reales. 5. Por lo tanto, el polinomio $$x^2 + x + 1$$ no se puede factorizar en factores lineales con coeficientes reales. 6. Podemos verificar el discriminante de la ecuación cuadrática asociada $$x^2 + x + 1 = 0$$ usando la fórmula $$\Delta = b^2 - 4ac$$. 7. Calculamos $$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3$$. 8. Como $$\Delta < 0$$, no hay raíces reales y el polinomio no se factoriza en números reales. 9. La factorización en números complejos es $$x^2 + x + 1 = \left(x - \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}\right)\left(x - \frac{-1 - \sqrt{-3}}{2}\right)$$. 10. En resumen, el polinomio $$x^2 + x + 1$$ es irreducible en los reales y su factorización en complejos es con raíces $$\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$.