1. সমস্যাটি হলো: $x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3}$ এবং $p = 10^3 + 2\sqrt{42}$, এবং $a^4 - 4a + 3$ উপাদানকে বিশ্লেষণ করতে হবে, সাথে $p^4 - \frac{1}{p^4}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। 2. প্রথমে $a^4 - 4a + 3$ উপাদানকে বিশ্লেষণ করি। আমরা ধরে নেই $a$ একটি রিয়েল সংখ্যা। 3. উপাদানটি ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য আমরা চেষ্টা করব: $$a^4 - 4a + 3 = 0$$ 4. আমরা $a^4 - 4a + 3$ কে $(a^2 + ba + c)(a^2 + da + e)$ আকারে ভাগ করার চেষ্টা করব। 5. তবে সরাসরি ফ্যাক্টরাইজেশন কঠিন, তাই আমরা $a^4 - 4a + 3$ এর মূল বা রুট খুঁজে বের করার চেষ্টা করতে পারি। 6. এখন $p = 10^3 + 2\sqrt{42} = 1000 + 2\sqrt{42}$, এখানে $p$ একটি ধনাত্মক সংখ্যা। 7. আমরা $p^4 - \frac{1}{p^4}$ এর মান নির্ণয় করব। প্রথমে $p - \frac{1}{p}$ এর মান বের করি। 8. $p - \frac{1}{p} = 1000 + 2\sqrt{42} - \frac{1}{1000 + 2\sqrt{42}}$ 9. $\frac{1}{1000 + 2\sqrt{42}}$ কে রেশনালাইজ করলে: $$\frac{1}{1000 + 2\sqrt{42}} \times \frac{1000 - 2\sqrt{42}}{1000 - 2\sqrt{42}} = \frac{1000 - 2\sqrt{42}}{1000^2 - (2\sqrt{42})^2} = \frac{1000 - 2\sqrt{42}}{1000000 - 4 \times 42} = \frac{1000 - 2\sqrt{42}}{999832}$$ 10. যেহেতু $999832$ খুব বড়, তাই $\frac{1}{p}$ খুব ছোট, তাই $p - \frac{1}{p} \approx 1000 + 2\sqrt{42}$। 11. এখন $p + \frac{1}{p} = (p - \frac{1}{p}) + 2\frac{1}{p} \approx 1000 + 2\sqrt{42} +$ খুব ছোট মান। 12. আমরা $p^2 + \frac{1}{p^2} = (p + \frac{1}{p})^2 - 2$ এবং $p^4 + \frac{1}{p^4} = (p^2 + \frac{1}{p^2})^2 - 2$ সূত্র ব্যবহার করব। 13. কিন্তু প্রশ্নে $p^4 - \frac{1}{p^4}$ জানতে চাওয়া হয়েছে, যা $$p^4 - \frac{1}{p^4} = (p^2 - \frac{1}{p^2})(p^2 + \frac{1}{p^2})$$ 14. আবার, $$p^2 - \frac{1}{p^2} = (p - \frac{1}{p})(p + \frac{1}{p})$$ 15. তাই প্রথমে $p - \frac{1}{p}$ এবং $p + \frac{1}{p}$ নির্ণয় করতে হবে। 16. যেহেতু $p = 1000 + 2\sqrt{42}$, $p - \frac{1}{p} = 10^3 + 2\sqrt{42} - \frac{1}{10^3 + 2\sqrt{42}}$ এবং $p + \frac{1}{p} = 10^3 + 2\sqrt{42} + \frac{1}{10^3 + 2\sqrt{42}}$। 17. $p - \frac{1}{p}$ এবং $p + \frac{1}{p}$ এর গুণফল দিয়ে $p^2 - \frac{1}{p^2}$ পাওয়া যাবে। 18. এরপর $p^4 - \frac{1}{p^4} = (p^2 - \frac{1}{p^2})(p^2 + \frac{1}{p^2})$ সূত্রে মান নির্ণয় করা যাবে। 19. অতিরিক্ত তথ্য বা সরলীকরণের জন্য $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ দেওয়া হয়েছে, যা $x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3}$ এর সাথে সম্পর্কিত হতে পারে, কিন্তু প্রশ্নে সরাসরি ব্যবহার নির্দেশ নেই। 20. তাই উপরের ধাপগুলো অনুসরণ করে $p^4 - \frac{1}{p^4}$ এর মান নির্ণয় করা যাবে। **সারাংশ:** - $a^4 - 4a + 3$ ফ্যাক্টরাইজেশন সরাসরি কঠিন, তবে মূল খোঁজা যেতে পারে। - $p^4 - \frac{1}{p^4}$ নির্ণয়ের জন্য $p - \frac{1}{p}$ এবং $p + \frac{1}{p}$ নির্ণয় করে ধাপে ধাপে মান বের করতে হবে।