1. সমস্যাটি হলো: উৎপাদক বিশ্বিশ্লেষণ করতে হবে $(a-1)x^2 + a^2 xy + (a+1)y^2$ এর। 2. প্রথমে আমরা ধরি এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী যা $x$ এবং $y$ এর ফর্মে লেখা আছে। 3. আমরা চেষ্টা করব $(px + qy)(rx + sy)$ এর ফর্মে ভাঙ্গতে, যেখানে $p, q, r, s$ হল ধ্রুবক। 4. বিস্তৃত করলে পাই: $pr x^2 + (ps + qr) xy + qs y^2$ 5. তুলনা করলে, $pr = a-1$, $ps + qr = a^2$, এবং $qs = a+1$ 6. আমরা $p$ এবং $r$ এর মান ধরে শুরু করি, যেমন $p = 1$, তাহলে $r = a-1$ 7. এখন $qs = a+1$ থেকে $q$ এবং $s$ এর মান খুঁজে বের করতে হবে, এবং $ps + qr = a^2$ শর্ত পূরণ করতে হবে 8. ধরি $q = m$ এবং $s = n$, তাহলে $mn = a+1$ এবং $1 imes n + m imes (a-1) = a^2$ 9. সমীকরণগুলো থেকে $n = a+1 / m$ এবং $n + m(a-1) = a^2$ 10. প্রতিস্থাপন করলে $\frac{a+1}{m} + m(a-1) = a^2$ 11. সমীকরণটি গুণ করলে $(a+1) + m^2 (a-1) = a^2 m$ 12. এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ $m^2 (a-1) - a^2 m + (a+1) = 0$ 13. আমরা $m$ এর জন্য সমাধান করব: $$m = \frac{a^2 \pm \sqrt{a^4 - 4(a-1)(a+1)}}{2(a-1)}$$ 14. সরলীকরণ করলে: $$a^4 - 4(a^2 - 1) = a^4 - 4a^2 + 4 = (a^2 - 2)^2$$ 15. তাই, $$m = \frac{a^2 \pm (a^2 - 2)}{2(a-1)}$$ 16. দুটি মান পাওয়া যাবে: - প্রথম: $$m = \frac{a^2 + a^2 - 2}{2(a-1)} = \frac{2a^2 - 2}{2(a-1)} = \frac{2(a^2 - 1)}{2(a-1)} = \frac{(a-1)(a+1)}{(a-1)} = a+1$$ - দ্বিতীয়: $$m = \frac{a^2 - (a^2 - 2)}{2(a-1)} = \frac{2}{2(a-1)} = \frac{1}{a-1}$$ 17. প্রথম ক্ষেত্রে, $m = a+1$, তাই $n = \frac{a+1}{a+1} = 1$ 18. দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, $m = \frac{1}{a-1}$, তাই $n = \frac{a+1}{1/(a-1)} = (a+1)(a-1) = a^2 - 1$ 19. সুতরাং, উৎপাদক বিশ্বিশ্লেষণ হবে: - প্রথম: $(x + (a+1) y)((a-1) x + y)$ - দ্বিতীয়: \left(x + \frac{1}{a-1} y\right) \left((a-1) x + (a^2 - 1) y\right)\) 20. সাধারণত সহজ রূপে প্রথমটি বেশি ব্যবহারযোগ্য। **উত্তর:** $$ (x + (a+1) y)((a-1) x + y) $$