1. **فكك العدد x=154 إلى جداء عوامل أولية:** - 154 عدد زوجي، إذن يقبل القسمة على 2: $$154 \div 2 = 77$$ - 77 يقبل القسمة على 7: $$77 \div 7 = 11$$ - 11 عدد أولي. إذاً: $$154 = 2 \times 7 \times 11$$ 2. **فكك العدد y=140 إلى جداء عوامل أولية:** - 140 عدد زوجي: $$140 \div 2 = 70$$ - 70 عدد زوجي: $$70 \div 2 = 35$$ - 35 يقبل القسمة على 5: $$35 \div 5 = 7$$ - 7 عدد أولي. إذاً: $$140 = 2^2 \times 5 \times 7$$ 3. **حدد القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمصاعف المشترك الأصغر (LCM) لـ x و y:** - العوامل الأولية لـ x: $$2, 7, 11$$ - العوامل الأولية لـ y: $$2^2, 5, 7$$ - القاسم المشترك الأكبر هو حاصل ضرب العوامل المشتركة بأقل الأسس: $$GCD = 2^{\min(1,2)} \times 7^{\min(1,1)} = 2^1 \times 7^1 = 14$$ - المصاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب كل العوامل بأعلى الأسس: $$LCM = 2^{\max(1,2)} \times 5^{\max(0,1)} \times 7^{\max(1,1)} \times 11^{\max(1,0)} = 2^2 \times 5 \times 7 \times 11 = 1540$$ 4. **دراسة زوجية العددين K و M حيث:** $$K = 10n + 5$$ $$M = 6n^2 - 2n + 4$$ - عدد زوجي هو عدد يقبل القسمة على 2. - ندرس زوجية K: $$K = 10n + 5 = 2 \times 5n + 5$$ - 2 \times 5n زوجي، لكن 5 عدد فردي، إذن K فردي لأي n. - ندرس زوجية M: $$M = 6n^2 - 2n + 4 = 2(3n^2 - n + 2)$$ - لأن M = 2 \times (عدد صحيح)، إذن M زوجي لأي n. 5. **السيارتان اللتان تقومان بدورات في دارة معلقة:** - السيارة الأولى تكمل دورة في 30 دقيقة. - السيارة الثانية تكمل دورة في 36 دقيقة. - نريد معرفة متى تمر السيارتان في نفس الوقت من خط الانطلاق. - هذا يحدث عند مضاعف مشترك أصغر للزمنين 30 و 36. - نوجد LCM لـ 30 و 36: $$30 = 2 \times 3 \times 5$$ $$36 = 2^2 \times 3^2$$ $$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$$ - إذن تمر السيارتان في نفس الوقت بعد 180 دقيقة = 3 ساعات. 6. **عدد الدورات التي قامت بها كل سيارة بعد 3 ساعات:** - السيارة الأولى: $$\frac{180}{30} = 6$$ دورات. - السيارة الثانية: $$\frac{180}{36} = 5$$ دورات. **النتائج النهائية:** - تفكيك x: $$154 = 2 \times 7 \times 11$$ - تفكيك y: $$140 = 2^2 \times 5 \times 7$$ - القاسم المشترك الأكبر: $$14$$ - المصاعف المشترك الأصغر: $$1540$$ - K فردي لأي n. - M زوجي لأي n. - السيارتان تمران في نفس نقطة الانطلاق بعد 3 ساعات. - عدد الدورات: السيارة الأولى 6 دورات، السيارة الثانية 5 دورات.