1. **Staðhæfing verkefnis:** Við skoðum fallin $$f(x) = \frac{x^3 - 2x}{x^2 - 4}$$ og $$g(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$$ og finnum: - Formengi - Lóðréttar aðfellur og göt - Aðfellu þegar $x \to \pm\infty$ - Skurðpunkta við ásana 2. **Formengi:** - Fyrir $f(x)$ er nefnarinn $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, svo $x \neq 2, -2$. - Fyrir $g(x)$ er nefnarinn $x^2 - 3x = x(x-3)$, svo $x \neq 0, 3$. 3. **Lóðréttar aðfellur og göt:** - $f(x)$ hefur mögulegar lóðréttar aðfellur í $x=2$ og $x=-2$. Athugum hvort teljari sé núll í þessum punktum: $$x^3 - 2x = x(x^2 - 2)$$ Í $x=2$: $2(4-2) = 2 \cdot 2 = 4 \neq 0$ (aðfella) Í $x=-2$: $-2(4-2) = -2 \cdot 2 = -4 \neq 0$ (aðfella) - $g(x)$ hefur mögulegar lóðréttar aðfellur í $x=0$ og $x=3$. Teljari: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ Í $x=0$: $0 - 9 = -9 \neq 0$ (aðfella) Í $x=3$: $9 - 9 = 0$ (göt) 4. **Aðfellu þegar $x \to \pm\infty$:** - Fyrir $f(x)$: Grófa stigun: teljari $x^3$, nefnari $x^2$, svo $$f(x) \approx \frac{x^3}{x^2} = x$$ Þetta gefur skáfellu (lína með hallatölu 1). Finnum jöfnu skáfellu: $$y = mx + b$$ Þar sem $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ Og $$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x}{x^2 - 4} - x = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x - x(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 2x - x^3 + 4x}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x^2 - 4} = 0$$ Skáfellan er því $y = x$. - Fyrir $g(x)$: Grófa stigun: teljari og nefnari eru bæði stig 2, svo $$\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - 9/x^2}{1 - 3/x} = 1$$ Aðfellan er $y = 1$. 5. **Skurðpunktar við ásana:** - Fyrir $f(x)$: - Skurðpunktur við $y$-ás: setjum $x=0$ $$f(0) = \frac{0 - 0}{0 - 4} = 0$$ Punktur: $(0,0)$ - Skurðpunktur við $x$-ás: leitum lausna á $f(x) = 0$ $$\frac{x^3 - 2x}{x^2 - 4} = 0 \Rightarrow x^3 - 2x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 2) = 0$$ Lausnir: $x=0$, $x=\pm \sqrt{2}$ - Fyrir $g(x)$: - Skurðpunktur við $y$-ás: setjum $x=0$ (ekki í formengi, því $x=0$ er ekki í formengi) $x=0$ er ekki í formengi, svo enginn skurðpunktur við $y$-ás. - Skurðpunktur við $x$-ás: leitum lausna á $g(x) = 0$ $$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x} = 0 \Rightarrow x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0$$ Lausnir: $x=3$ (ekki í formengi), $x=-3$ (í formengi) Því aðeins $x=-3$ er skurðpunktur við $x$-ás. **Lokasvör:** - Formengi: $$f: x \in \mathbb{R} \setminus \{2, -2\}$$ $$g: x \in \mathbb{R} \setminus \{0, 3\}$$ - Lóðréttar aðfellur: $$f: x=2, x=-2$$ $$g: x=0$$ - Göt: $$g: x=3$$ - Aðfellu þegar $x \to \pm\infty$: $$f: y = x$$ $$g: y = 1$$ - Skurðpunktar: $$f: (0,0), (\sqrt{2},0), (-\sqrt{2},0)$$ $$g: (-3,0)$$