1. Staðhæfing verkefnis: Gefið er fallið $$f(x) = 3 - e^{-x}$$. Við skulum finna y-skurðpunkt, athuga hvort x-skurðpunktur sé til, finna láréttu aðfelluna og ákvarða formengi og varpmengi fallsins. 2. Y-skurðpunktur: Y-skurðpunktur er þar sem graf fallsins sker y-ásinn, þ.e.a.s. þegar $$x=0$$. Reiknum $$f(0)$$: $$f(0) = 3 - e^{0} = 3 - 1 = 2$$ Þannig er y-skurðpunkturinn $$ (0, 2) $$. 3. X-skurðpunktur: X-skurðpunktur er þar sem $$f(x) = 0$$. Setjum: $$0 = 3 - e^{-x}$$ $$e^{-x} = 3$$ Tökum náttúrulega logaritmann beggja vegna: $$-x = \ln(3)$$ $$x = -\ln(3)$$ Þannig er x-skurðpunkturinn $$ \left(-\ln(3), 0\right) $$. 4. Lárétt aðfella: Lárétt aðfella er þegar afleiðan $$f'(x)$$ er núll. Reiknum afleiðuna: $$f'(x) = 0 - (-1) e^{-x} = e^{-x}$$ Setjum $$f'(x) = 0$$: $$e^{-x} = 0$$ Þar sem $$e^{-x} > 0$$ fyrir öll $$x$$, þá er engin lausn. Þannig er engin lárétt aðfella. 5. Formengi fallsins: Athugum hegðun fallsins þegar $$x \to \infty$$ og $$x \to -\infty$$. Þegar $$x \to \infty$$: $$e^{-x} \to 0$$ Þá: $$f(x) \to 3 - 0 = 3$$ Þegar $$x \to -\infty$$: $$e^{-x} = e^{|x|} \to \infty$$ Þá: $$f(x) = 3 - e^{-x} \to 3 - \infty = -\infty$$ Þannig er formengið: $$(-\infty, 3)$$ 6. Varpmengið er mengi allra gilda fallsins, sem er líka $$(-\infty, 3)$$. Niðurstaða: - Y-skurðpunktur: $$(0, 2)$$ - X-skurðpunktur: $$\left(-\ln(3), 0\right)$$ - Engin lárétt aðfella - Formengi og varpmengi: $$(-\infty, 3)$$