1. **Enunciato del problema:** Dato il fascio di rette definito dall'equazione $$(2K+1)X + 3KY + 1 + K = 0,$$ dobbiamo: - Trovare le due rette giostrice (cioè le rette per valori particolari di $K$ che definiscono il fascio). - Determinare per quale valore di $K$ si ottiene una retta specifica (ad esempio una retta passante per un punto o con una certa proprietà). 2. **Formula e regole importanti:** Un fascio di rette è una famiglia di rette che si può scrivere come combinazione lineare di due rette base: $$\lambda L_1 + \mu L_2 = 0,$$ con $\lambda, \mu$ parametri reali. Le due rette giostrice sono quelle ottenute per valori particolari di $K$ che annullano i coefficienti in modo da ottenere rette base. 3. **Individuazione delle due rette giostrice:** L'equazione è: $$ (2K+1)X + 3KY + (1 + K) = 0. $$ Per trovare le rette giostrice, cerchiamo i valori di $K$ per cui il fascio si riduce a una singola retta, cioè quando i coefficienti sono proporzionali a zero o si annulla un coefficiente per isolare una retta. - Caso 1: $2K + 1 = 0 \Rightarrow K = -\frac{1}{2}$ Sostituiamo in $3KY + 1 + K = 0$: $$3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) Y + 1 - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow -\frac{3}{2}Y + \frac{1}{2} = 0.$$ Moltiplichiamo entrambi i membri per 2: $$-3Y + 1 = 0 \Rightarrow 3Y = 1 \Rightarrow Y = \frac{1}{3}.$$ Quindi la prima retta giostrice è: $$X \text{ libero}, Y = \frac{1}{3}.$$ - Caso 2: $3K = 0 \Rightarrow K = 0$ Sostituiamo in $(2K+1)X + 1 + K = 0$: $$ (2 \cdot 0 + 1)X + 1 + 0 = 0 \Rightarrow X + 1 = 0 \Rightarrow X = -1.$$ Quindi la seconda retta giostrice è: $$X = -1, Y \text{ libero}.$$ 4. **Verifica e interpretazione:** Le due rette giostrice sono: - $Y = \frac{1}{3}$ (retta orizzontale) - $X = -1$ (retta verticale) 5. **Per quale valore di $K$ si ottiene una retta particolare?** Ad esempio, se vogliamo trovare $K$ per cui la retta passa per un punto specifico, o ha una certa pendenza, possiamo sostituire i valori e risolvere. **Riassumendo:** - Le due rette giostrice sono $Y = \frac{1}{3}$ e $X = -1$. - Questi si ottengono per $K = -\frac{1}{2}$ e $K = 0$ rispettivamente. **Risposta finale:** Le due rette giostrice del fascio sono: $$Y = \frac{1}{3} \quad \text{per} \quad K = -\frac{1}{2},$$ $$X = -1 \quad \text{per} \quad K = 0.$$