1. Vamos considerar o sistema linear dado: $$\begin{cases} x_1 + 8x_2 + 2x_3 = 10 \\ 15x_1 + x_2 + 2x_3 = 13 \\ x_1 + x_2 + 3x_3 = -4 \end{cases}$$ 2. O objetivo é fatorar a matriz dos coeficientes $A$ em $L \cdot U$, onde $L$ é uma matriz triangular inferior com 1's na diagonal e $U$ é uma matriz triangular superior. 3. A matriz $A$ é: $$A = \begin{bmatrix} 1 & 8 & 2 \\ 15 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$$ 4. Começamos com $L$ como identidade e $U$ como cópia de $A$ inicialmente: $$L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad U = A$$ 5. Eliminamos o elemento $U_{21}$ (linha 2, coluna 1) usando a primeira linha: O multiplicador é $l_{21} = \frac{U_{21}}{U_{11}} = \frac{15}{1} = 15$. 6. Atualizamos a linha 2 de $U$: $$U_{2,:} = U_{2,:} - l_{21} \times U_{1,:} = \begin{bmatrix} 15 & 1 & 2 \end{bmatrix} - 15 \times \begin{bmatrix} 1 & 8 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 - 15 & 1 - 120 & 2 - 30 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -119 & -28 \end{bmatrix}$$ 7. Colocamos $l_{21} = 15$ em $L$: $$L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ 8. Eliminamos o elemento $U_{31}$ (linha 3, coluna 1) usando a primeira linha: O multiplicador é $l_{31} = \frac{U_{31}}{U_{11}} = \frac{1}{1} = 1$. 9. Atualizamos a linha 3 de $U$: $$U_{3,:} = U_{3,:} - l_{31} \times U_{1,:} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} - 1 \times \begin{bmatrix} 1 & 8 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -7 & 1 \end{bmatrix}$$ 10. Colocamos $l_{31} = 1$ em $L$: $$L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ 11. Agora eliminamos o elemento $U_{32}$ (linha 3, coluna 2) usando a segunda linha: O multiplicador é $l_{32} = \frac{U_{32}}{U_{22}} = \frac{-7}{-119} = \frac{7}{119} = \frac{1}{17}$. 12. Atualizamos a linha 3 de $U$: $$U_{3,:} = U_{3,:} - l_{32} \times U_{2,:} = \begin{bmatrix} 0 & -7 & 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{17} \times \begin{bmatrix} 0 & -119 & -28 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -7 + 7 & 1 + \frac{28}{17} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{45}{17} \end{bmatrix}$$ 13. Colocamos $l_{32} = \frac{1}{17}$ em $L$: $$L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 1 & \frac{1}{17} & 1 \end{bmatrix}$$ 14. Portanto, as matrizes $L$ e $U$ escritas com frações são: $$L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 1 & \frac{1}{17} & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} 1 & 8 & 2 \\ 0 & -119 & -28 \\ 0 & 0 & \frac{45}{17} \end{bmatrix}$$ 15. Comparando com as alternativas dadas, a correta é a alternativa C.