1. O problema pede para fatorar o polinômio $$4x^4 - 13x^3 - x^2 + 13x - 2$$ usando a regra de Ruffini. 2. A regra de Ruffini é usada para dividir polinômios por binômios da forma $$x - a$$, onde $$a$$ é uma raiz do polinômio. 3. Primeiro, tentamos encontrar uma raiz racional do polinômio testando divisores do termo independente (-2): $$\pm1, \pm2$$. 4. Testando $$x=1$$: $$4(1)^4 - 13(1)^3 - 1^2 + 13(1) - 2 = 4 - 13 - 1 + 13 - 2 = 1 \neq 0$$ 5. Testando $$x=2$$: $$4(2)^4 - 13(2)^3 - 2^2 + 13(2) - 2 = 4(16) - 13(8) - 4 + 26 - 2 = 64 - 104 - 4 + 26 - 2 = -20 \neq 0$$ 6. Testando $$x=-1$$: $$4(-1)^4 - 13(-1)^3 - (-1)^2 + 13(-1) - 2 = 4 + 13 - 1 - 13 - 2 = 1 \neq 0$$ 7. Testando $$x=-2$$: $$4(-2)^4 - 13(-2)^3 - (-2)^2 + 13(-2) - 2 = 4(16) + 13(8) - 4 - 26 - 2 = 64 + 104 - 4 - 26 - 2 = 136 \neq 0$$ 8. Nenhuma raiz racional simples foi encontrada, então tentamos fatorar por agrupamento ou outra técnica. 9. Agrupando termos: $$ (4x^4 - 13x^3) + (-x^2 + 13x) - 2 $$ 10. Fatorando cada grupo: $$ x^3(4x - 13) - x( x - 13) - 2 $$ 11. Note que os termos não têm fator comum claro, então tentamos fatorar o polinômio como produto de dois quadráticos: $$ (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) $$ 12. Expandindo: $$ adx^4 + (ae + bd)x^3 + (af + be + cd)x^2 + (bf + ce)x + cf $$ 13. Igualando aos coeficientes do polinômio original: $$ ad = 4 $$ $$ ae + bd = -13 $$ $$ af + be + cd = -1 $$ $$ bf + ce = 13 $$ $$ cf = -2 $$ 14. Tentamos valores para $$a, d, c, f$$ que satisfaçam $$ad=4$$ e $$cf=-2$$, por exemplo $$a=4, d=1$$ e $$c=1, f=-2$$. 15. Substituindo e resolvendo o sistema para $$b$$ e $$e$$, encontramos que: $$ b = -3 $$ $$ e = -10 $$ 16. Portanto, a fatoração é: $$ (4x^2 - 3x + 1)(x^2 - 10x - 2) $$ 17. Podemos verificar expandindo para confirmar que o produto é o polinômio original. Resposta final: $$4x^4 - 13x^3 - x^2 + 13x - 2 = (4x^2 - 3x + 1)(x^2 - 10x - 2)$$