1. Problemet: Vi ska hitta fem heltal som har medelvärdet 11, medianen 10 och 9 som enda typvärde. 2. Definitioner och formler: - Medelvärde (genomsnitt) av fem tal $a,b,c,d,e$ är $$\frac{a+b+c+d+e}{5} = 11$$ - Medianen är det mittersta talet när talen är sorterade, alltså $$c = 10$$ - Typvärdet (mod) är det tal som förekommer flest gånger, och det enda typvärdet är 9. 3. Sätt upp ekvationer: - Summan av talen är $$a+b+c+d+e = 5 \times 11 = 55$$ - Medianen är $$c=10$$ - 9 är det enda talet som förekommer flest gånger, alltså måste 9 förekomma minst två gånger och inga andra tal får förekomma lika många gånger. 4. Eftersom medianen är 10, och talen är sorterade $$a \leq b \leq c \leq d \leq e$$, så $$c=10$$. 5. Typvärdet är 9, så 9 måste förekomma minst två gånger. Eftersom medianen är 10, och 9 är mindre än 10, 9 kan bara vara $a$ och $b$ (de två första talen). 6. Sätt $$a=9$$ och $$b=9$$. 7. Nu har vi $$9 + 9 + 10 + d + e = 55 \Rightarrow d + e = 55 - 28 = 27$$ 8. Eftersom talen är sorterade $$9 \leq 9 \leq 10 \leq d \leq e$$ och $d$ och $e$ är heltal. 9. Vi måste också säkerställa att 9 är det enda typvärdet, så varken 10, $d$ eller $e$ får förekomma två gånger. 10. Eftersom 10 är median och bara förekommer en gång (c=10), det är okej. 11. Om $d = e$, då skulle $d$ och $e$ vara lika och förekomma två gånger, vilket ger två typvärden (9 och $d$), vilket inte är tillåtet. 12. Alltså måste $d$ och $e$ vara olika tal. 13. Vi söker två olika heltal $d$ och $e$ med $$d + e = 27$$ och $$d \geq 10$$, $$e \geq d$$. 14. Möjliga par är: - $d=10$, $e=17$ - $d=11$, $e=16$ - $d=12$, $e=15$ - $d=13$, $e=14$ 15. Kontrollera typvärdet för varje: - I alla fall är 9 det enda tal som förekommer två gånger. 16. Slutsats: Lösningarna är: $$[9,9,10,10,17], [9,9,10,11,16], [9,9,10,12,15], [9,9,10,13,14]$$ Alla uppfyller medelvärde 11, median 10 och 9 som enda typvärde. Svar: Det finns flera lösningar, exempelvis de fyra ovan.