1. Planteamos el problema: En una fiesta hay un total de 350 personas entre personal (x), asistentes con barra libre (y) y asistentes con solo la primera copa pagada (z). 2. Se nos dan las condiciones: - Por cada 11 asistentes hay 3 trabajadores. - Los asistentes con barra libre superan en 25 a los que solo tienen la primera copa. 3. Se nos pide elegir el sistema correcto y resolverlo con el método de Gauss. El sistema correcto es el c: $$\begin{cases} x + y + z = 350 \\ \frac{y + z}{11} = \frac{x}{3} \\ y = z + 25 \end{cases}$$ 4. Reescribimos la segunda ecuación multiplicando ambos lados por 33 para eliminar denominadores: $$33 \cdot \frac{y + z}{11} = 33 \cdot \frac{x}{3} \Rightarrow 3(y + z) = 11x$$ 5. Expandimos: $$3y + 3z = 11x$$ 6. Usamos la tercera ecuación para sustituir $y$: $$y = z + 25$$ 7. Sustituimos en la ecuación anterior: $$3(z + 25) + 3z = 11x$$ $$3z + 75 + 3z = 11x$$ $$6z + 75 = 11x$$ 8. La primera ecuación es: $$x + y + z = 350$$ Sustituimos $y$: $$x + (z + 25) + z = 350$$ $$x + 2z + 25 = 350$$ $$x + 2z = 325$$ 9. Ahora tenemos el sistema: $$\begin{cases} x + 2z = 325 \\ 11x - 6z = 75 \end{cases}$$ 10. Resolvemos por Gauss: Multiplicamos la primera ecuación por 11: $$11x + 22z = 3575$$ Restamos la segunda ecuación: $$(11x + 22z) - (11x - 6z) = 3575 - 75$$ $$11x - 11x + 22z + 6z = 3500$$ $$28z = 3500$$ 11. Despejamos $z$: $$z = \frac{3500}{28} = 125$$ 12. Sustituimos $z$ en la ecuación $x + 2z = 325$: $$x + 2(125) = 325$$ $$x + 250 = 325$$ $$x = 75$$ 13. Finalmente, calculamos $y$: $$y = z + 25 = 125 + 25 = 150$$ 14. Respuesta final: - Personal contratado (trabajadores): $x = 75$ - Asistentes con barra libre: $y = 150$ - Asistentes con solo la primera copa: $z = 125$