1. **Énoncé du problème :** Nous analysons le flot de circulation autour de l'aréna un soir de match. Les variables $x_1, x_2, x_3, x_4$ représentent des flux inconnus entre les intersections A, B, C, D. 2. **Définition des variables :** - $x_1$ : flux de B vers A - $x_2$ : flux de A vers C - $x_3$ : flux de C vers un point extérieur (Alvmer) - $x_4$ : flux de D vers B 3. **Équations d'équilibre aux noeuds (loi des nœuds) :** - Noeud A : entrées $= 100 + x_1$, sorties $= 300 + 200 + x_2$ donc $$100 + x_1 = 500 + x_2 \implies x_1 - x_2 = 400$$ - Noeud B : entrée $= x_4$, sorties $= x_1 + 150$ donc $$x_4 = x_1 + 150 \implies x_4 - x_1 = 150$$ - Noeud C : entrée $= x_2 + 150$, sorties $= 400 + x_3$ donc $$x_2 + 150 = 400 + x_3 \implies x_2 - x_3 = 250$$ - Noeud D : entrées $= 600 + 1200 + 400 = 2200$, sorties $= x_4 + 750 + 550 = x_4 + 1300$ donc $$2200 = x_4 + 1300 \implies x_4 = 900$$ 4. **Formulation matricielle :** On pose $$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 400 \\ 150 \\ 250 \\ 900 \end{bmatrix}$$ Le système s'écrit $AX = B$. 5. **Inversion de la matrice $A$ par Gauss-Jordan (résumé) :** - On applique des opérations élémentaires pour obtenir $A^{-1}$. - La matrice inverse trouvée est $$A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ 6. **Calcul de la solution :** $$X = A^{-1} B = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 400 \\ 150 \\ 250 \\ 900 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -150 + 900 \\ -400 + 250 - 900 \\ 900 \\ 900 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 750 \\ -1050 \\ 900 \\ 900 \end{bmatrix}$$ 7. **Interprétation et correction :** Le résultat $x_2 = -1050$ est incohérent pour un flux (doit être positif). Reprenons le calcul correctement : $$x_1 = 0 \times 400 + (-1) \times 150 + 0 \times 250 + 1 \times 900 = -150 + 900 = 750$$ $$x_2 = -1 \times 400 + 0 \times 150 + 1 \times 250 + (-1) \times 900 = -400 + 250 - 900 = -1050$$ $$x_3 = 0 \times 400 + 0 \times 150 + 0 \times 250 + 1 \times 900 = 900$$ $$x_4 = 0 \times 400 + 0 \times 150 + 0 \times 250 + 1 \times 900 = 900$$ Le signe négatif pour $x_2$ indique une erreur dans la matrice inverse ou dans la définition des équations. En reprenant la méthode, on trouve la solution correcte : $$X = \begin{bmatrix} 750 \\ 350 \\ 100 \\ 900 \end{bmatrix}$$ 8. **Conclusion :** Les flux sont : - $x_1 = 750$ - $x_2 = 350$ - $x_3 = 100$ - $x_4 = 900$ Ces valeurs respectent les équations d'équilibre et représentent le flot de circulation aux intersections.