1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction affine par intervalles définie par : $$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x \in ]-3, 2] \\ 9 - x & \text{si } x \in ]2, 5[ \\ 4 & \text{si } x \in [5, +\infty[ \end{cases}$$ 2. **Trouver l'ensemble de définition $D_f$ :** L'ensemble de définition est l'union des intervalles où $f$ est définie : $$D_f = ]-3, 2] \cup ]2, 5[ \cup [5, +\infty[ = ]-3, +\infty[ $$ 3. **Calculer $f(0)$, $f(6)$ et $f(3)$ :** - Pour $x=0 \in ]-3, 2]$, on utilise $f(x) = 2x + 3$ : $$f(0) = 2 \times 0 + 3 = 3$$ - Pour $x=6 \in [5, +\infty[$, on utilise $f(x) = 4$ : $$f(6) = 4$$ - Pour $x=3 \in ]2, 5[$, on utilise $f(x) = 9 - x$ : $$f(3) = 9 - 3 = 6$$ 4. **Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) < 5$ :** - Sur $]-3, 2]$, $f(x) = 2x + 3 < 5 \Rightarrow 2x < 2 \Rightarrow x < 1$ - Sur $]2, 5[$, $f(x) = 9 - x < 5 \Rightarrow 9 - x < 5 \Rightarrow x > 4$ - Sur $[5, +\infty[$, $f(x) = 4 < 5$ est toujours vrai Donc la solution graphique est : $$x \in ]-3, 1[ \cup ]4, +\infty[ $$ 5. **Étudier les variations de $f$ sur $D_f$ :** - Sur $]-3, 2]$, $f(x) = 2x + 3$ est une fonction affine croissante (car $2 > 0$). - Sur $]2, 5[$, $f(x) = 9 - x$ est une fonction affine décroissante (car coefficient de $x$ est $-1$). - Sur $[5, +\infty[$, $f(x) = 4$ est constante. **Résumé des variations :** - Croissante sur $]-3, 2]$ - Décroissante sur $]2, 5[$ - Constante sur $[5, +\infty[$ **Réponse finale :** - $D_f = ]-3, +\infty[$ - $f(0) = 3$, $f(6) = 4$, $f(3) = 6$ - Solution de $f(x) < 5$ : $x \in ]-3, 1[ \cup ]4, +\infty[$ - Variations : croissante sur $]-3, 2]$, décroissante sur $]2, 5[$, constante sur $[5, +\infty[$.