1. **Énoncé du problème** : Montrer que la fonction carrée $f(x) = x^2$ est croissante sur $[0; +\infty[$ et décroissante sur $]-\infty; 0]$. 2. **Définition d'une fonction croissante** : Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle si pour tous $a, b$ dans cet intervalle, $a \leq b$ implique $f(a) \leq f(b)$. 3. **Montrer que $f$ est croissante sur $[0; +\infty[$** : a) Soient $a, b \in [0; +\infty[$ avec $a \leq b$. b) Calculons $f(a)$ et $f(b)$ : $$f(a) = a^2, \quad f(b) = b^2$$ c) Calculons $f(a) - f(b)$ : $$f(a) - f(b) = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$ d) Puisque $a, b \geq 0$, on a $a + b \geq 0$. e) Comme $a \leq b$, on a $a - b \leq 0$. f) Donc, $f(a) - f(b) = (a + b)(a - b) \leq 0$ car produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif ou nul. g) Cela implique $f(a) \leq f(b)$, donc $f$ est croissante sur $[0; +\infty[$. 4. **Montrer que $f$ est décroissante sur $]-\infty; 0]$** : a) Soient $a, b \in ]-\infty; 0]$ avec $a \leq b$. b) Calculons $f(a)$ et $f(b)$ : $$f(a) = a^2, \quad f(b) = b^2$$ c) Calculons $f(a) - f(b)$ : $$f(a) - f(b) = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$ d) Sur $]-\infty; 0]$, $a + b \leq 0$ car $a, b \leq 0$. e) Comme $a \leq b$, on a $a - b \leq 0$. f) Donc, $f(a) - f(b) = (a + b)(a - b) \geq 0$ car produit de deux nombres négatifs ou nuls. g) Cela implique $f(a) \geq f(b)$, donc $f$ est décroissante sur $]-\infty; 0]$. 5. **Conclusion** : La fonction carrée est croissante sur $[0; +\infty[$ et décroissante sur $]-\infty; 0]$.