1. **Énoncé du problème :** Nous considérons la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$k(x) = x^3 - 6x^2 + 3x + 4.$$ 2. **Calcul de $k(1)$ et $k(-1)$ :** - Calcul de $k(1)$ : $$k(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 3 \times 1 + 4 = 1 - 6 + 3 + 4 = 2.$$ - Calcul de $k(-1)$ : $$k(-1) = (-1)^3 - 6 \times (-1)^2 + 3 \times (-1) + 4 = -1 - 6 - 3 + 4 = -6.$$ 3. **Calcul des limites en $-\infty$ :** - Limite de $k(x)$ quand $x \to -\infty$ : Le terme dominant est $x^3$, donc $$\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty.$$ - Limite de $\frac{k(x)}{x}$ quand $x \to -\infty$ : $$\frac{k(x)}{x} = \frac{x^3 - 6x^2 + 3x + 4}{x} = x^2 - 6x + 3 + \frac{4}{x}.$$ Quand $x \to -\infty$, $x^2 \to +\infty$, $-6x \to +\infty$, donc $$\lim_{x \to -\infty} \frac{k(x)}{x} = +\infty.$$ 4. **Branche infinie au voisinage de $-\infty$ :** Puisque $k(x) \sim x^3$ quand $x \to -\infty$, la courbe tend vers $-\infty$ très rapidement, sans asymptote oblique. 5. **Branche infinie au voisinage de $+\infty$ :** De même, quand $x \to +\infty$, $k(x) \sim x^3 \to +\infty$, donc pas d'asymptote oblique. 6. **Calcul de la dérivée $k'(x)$ :** $$k'(x) = 3x^2 - 12x + 3.$$ 7. **Résolution de l'équation $k'(x) = 0$ :** $$3x^2 - 12x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0.$$ Les racines sont $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}.$$ 8. **Tableau de variations de $k$ :** - $k'(x) > 0$ sur $(-\infty, 2 - \sqrt{3})$ et $(2 + \sqrt{3}, +\infty)$ donc $k$ est croissante sur ces intervalles. - $k'(x) < 0$ sur $(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$ donc $k$ est décroissante sur cet intervalle. 9. **Équation de la tangente $(T)$ au point d'abscisse 1 :** - $k(1) = 2$ (calculé précédemment). - $k'(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 3 = 3 - 12 + 3 = -6.$ - Équation de la tangente : $$y = k'(1)(x - 1) + k(1) = -6(x - 1) + 2 = -6x + 8.$$ 10. **Calcul de la dérivée seconde $k''(x)$ :** $$k''(x) = 6x - 12.$$ 11. **Montrer que $I(2, -6)$ est un point d'inflexion :** - Calcul de $k''(2)$ : $$k''(2) = 6 \times 2 - 12 = 12 - 12 = 0.$$ - Vérification du changement de signe de $k''(x)$ autour de 2 : Pour $x < 2$, $k''(x) < 0$; pour $x > 2$, $k''(x) > 0$, donc $I$ est un point d'inflexion. - Calcul de $k(2)$ : $$k(2) = 8 - 24 + 6 + 4 = -6,$$ donc le point $I$ a bien pour coordonnées $(2, -6)$. **Réponse finale :** - $k(1) = 2$, $k(-1) = -6$. - $\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -\infty} \frac{k(x)}{x} = +\infty$. - Pas d'asymptote oblique aux infinis. - $k'(x) = 3x^2 - 12x + 3$. - Solutions de $k'(x) = 0$ : $x = 2 \pm \sqrt{3}$. - $k$ croissante sur $(-\infty, 2 - \sqrt{3})$ et $(2 + \sqrt{3}, +\infty)$, décroissante sur $(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$. - Tangente en $x=1$ : $y = -6x + 8$. - $k''(x) = 6x - 12$. - Point d'inflexion en $I(2, -6)$.