1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = x + \frac{1}{x-2}$. 2. **Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ :** La fonction est définie pour tous les $x$ sauf ceux qui annulent le dénominateur $x-2=0$, donc $x \neq 2$. Ainsi, $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}.$$ 3. **Tableau de signes de $(x-2)$ :** - Pour $x < 2$, $x-2 < 0$. - Pour $x > 2$, $x-2 > 0$. 4. **Calcul des limites en $x \to 2^-$ et $x \to 2^+$ :** - $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(x + \frac{1}{x-2}\right) = 2 + (-\infty) = -\infty.$$ - $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left(x + \frac{1}{x-2}\right) = 2 + (+\infty) = +\infty.$$ **Interprétation géométrique :** La droite verticale $x=2$ est une asymptote verticale de la courbe $C_f$. 5. **Calcul des limites en $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$ :** - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x + \frac{1}{x-2}\right) = +\infty.$$ - $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(x + \frac{1}{x-2}\right) = -\infty.$$ 6. **Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ est une asymptote oblique :** On calcule $$f(x) - x = \frac{1}{x-2}.$$ Quand $x \to \pm \infty$, $\frac{1}{x-2} \to 0$, donc la distance entre $f(x)$ et $x$ tend vers 0. Ainsi, $y=x$ est une asymptote oblique de $C_f$ aux voisinages de $+\infty$ et $-\infty$. 7. **Position relative de $C_f$ et de $\Delta$ :** - Pour $x > 2$, $x-2 > 0$ donc $\frac{1}{x-2} > 0$ donc $f(x) > x$. - Pour $x < 2$, $x-2 < 0$ donc $\frac{1}{x-2} < 0$ donc $f(x) < x$. Donc, la courbe est au-dessus de la droite $y=x$ pour $x>2$ et en dessous pour $x<2$. **Réponse finale :** - $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}.$$ - $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty.$$ - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.$$ - La droite $x=2$ est une asymptote verticale. - La droite $y=x$ est une asymptote oblique. - $f(x) < x$ pour $x<2$ et $f(x) > x$ pour $x>2$.