1. **Exercice 5.1** **Problème :** Étudier la fonction $f(x) = x^3 - 5x^2 + 4$. **1. Calcul de $f'(x)$, étude de son signe et variations de $f$ sur $\mathbb{R}$** - La dérivée de $f$ est donnée par la formule $f'(x) = 3x^2 - 10x$. - Factorisons $f'(x)$ : $$f'(x) = x(3x - 10)$$ - Les racines de $f'(x)$ sont $x=0$ et $x=\frac{10}{3}$. - Étudions le signe de $f'(x)$ : - Pour $x < 0$, $x < 0$ et $3x - 10 < 0$, donc $f'(x) > 0$ (car produit de deux négatifs). - Pour $0 < x < \frac{10}{3}$, $x > 0$ mais $3x - 10 < 0$, donc $f'(x) < 0$. - Pour $x > \frac{10}{3}$, $x > 0$ et $3x - 10 > 0$, donc $f'(x) > 0$. - Conclusion sur les variations : - $f$ est croissante sur $(-\infty, 0]$. - $f$ est décroissante sur $[0, \frac{10}{3}]$. - $f$ est croissante sur $[\frac{10}{3}, +\infty)$. **2. Équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse $a=1$** - Calculons $f(1)$ : $$f(1) = 1^3 - 5 \times 1^2 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$$ - Calculons $f'(1)$ : $$f'(1) = 3 \times 1^2 - 10 \times 1 = 3 - 10 = -7$$ - L'équation de la tangente est : $$y = f'(1)(x - 1) + f(1) = -7(x - 1) + 0 = -7x + 7$$ **3. Déterminer $a$, $b$, $c$ tels que $f(x) = (x-1)(ax^2 + bx + c)$** - Développons : $$(x-1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - a x^2 - b x - c = a x^3 + (b - a) x^2 + (c - b) x - c$$ - Identifions avec $f(x) = x^3 - 5 x^2 + 4$ : $$a = 1$$ $$b - a = -5 \Rightarrow b - 1 = -5 \Rightarrow b = -4$$ $$c - b = 0 \Rightarrow c - (-4) = 0 \Rightarrow c = -4$$ $$-c = 4 \Rightarrow c = -4$$ - Donc $a=1$, $b=-4$, $c=-4$. **4. Étudier la position de $C_f$ par rapport à $T$** - La tangente est $y = -7x + 7$. - Calculons $f(x) - T(x)$ : $$f(x) - (-7x + 7) = x^3 - 5x^2 + 4 + 7x - 7 = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$$ - Étudions le signe de $f(x) - T(x)$ pour $x$ proche de 1. - Comme $f(1) = T(1) = 0$, on regarde la dérivée seconde pour la concavité : $$f''(x) = 6x - 10$$ $$f''(1) = 6 - 10 = -4 < 0$$ - La courbe est concave vers le bas en $x=1$, donc $C_f$ est au-dessus de la tangente à gauche de 1 et en dessous à droite. --- 2. **Exercice 5.2** **Problème : Placer les points $A(\frac{3\pi}{4})$, $B(-\frac{7\pi}{3})$, $C(\frac{5\pi}{6})$ sur le cercle trigonométrique et donner leurs cosinus et sinus.** - Rappel : - Le cercle trigonométrique a un rayon 1. - Les angles sont mesurés en radians. - Simplifions les angles pour $B$ : $$-\frac{7\pi}{3} = -2\pi - \frac{\pi}{3}$$ - Comme $-2\pi$ correspond à un tour complet, $B$ est équivalent à $-\frac{\pi}{3}$. - Cosinus et sinus des angles : - $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ --- 3. **Exercice 5.3** **Problème : Calculer $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$ et en déduire $\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\frac{11\pi}{12}\right)$ sachant que $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$** **1. Calcul de $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$** - Utilisons la relation trigonométrique : $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$ - Donc : $$\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{\pi}{12}\right)}$$ - Calculons : $$\cos^2\left(\frac{\pi}{12}\right) = \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{6 + 4\sqrt{3} + 2}{16} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$$ - Donc : $$\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sqrt{1 - \frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{4 - 2 - \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$$ - Comme $\frac{\pi}{12}$ est dans le premier quadrant, $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) > 0$. **2. Calcul de $\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\frac{11\pi}{12}\right)$** - $\frac{11\pi}{12} = \pi - \frac{\pi}{12}$. - Utilisons les formules : $$\cos(\pi - x) = -\cos x$$ $$\sin(\pi - x) = \sin x$$ - Donc : $$\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ $$\sin\left(\frac{11\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$$