1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $g$ définie par $g(x) = x^3 + x^2 + 3x - 1$. 2. **Dresser le tableau de variations (TV) de $g$ :** - Calcul de la dérivée : $$g'(x) = 3x^2 + 2x + 3$$ - Calcul du discriminant de $g'(x)$ : $$\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times 3 = 4 - 36 = -32 < 0$$ - Comme $\Delta < 0$, $g'(x)$ n'a pas de racines réelles, donc $g'(x)$ ne change pas de signe. - Le coefficient dominant de $g'(x)$ est positif ($3$), donc $g'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. - Conclusion : $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 3. **Montrer que l'équation $g(a) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ :** - $g$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Calcul des limites : $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$$ - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution $\alpha$ telle que $g(\alpha) = 0$. - Comme $g$ est strictement croissante, cette solution est unique. 4. **Vérifier que $\alpha \in ]0,1[$ :** - Calcul de $g(0)$ : $$g(0) = 0 + 0 + 0 - 1 = -1 < 0$$ - Calcul de $g(1)$ : $$g(1) = 1 + 1 + 3 - 1 = 4 > 0$$ - Comme $g$ est strictement croissante, la racine unique $\alpha$ vérifie $0 < \alpha < 1$. 5. **En déduire le signe de $g(x)$ :** - Pour $x < \alpha$, $g(x) < 0$ car $g$ est croissante et $g(\alpha) = 0$. - Pour $x = \alpha$, $g(x) = 0$. - Pour $x > \alpha$, $g(x) > 0$. **Réponse finale :** - La fonction $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - L'équation $g(a) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0,1[$. - Le signe de $g(x)$ est négatif pour $x < \alpha$, nul en $x = \alpha$, et positif pour $x > \alpha$.