1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction linéaire $f$ définie par $f(x) = -\frac{5}{2}x$. 2. **Calcul des images de $f$ pour $x=2$ et $x=-6\sqrt{3}$ :** $$f(2) = -\frac{5}{2} \times 2 = -5$$ $$f(-6\sqrt{3}) = -\frac{5}{2} \times (-6\sqrt{3}) = 15\sqrt{3}$$ 3. **Calcul de l'antécédent de 5 par $f$ :** On cherche $x$ tel que $f(x) = 5$. $$-\frac{5}{2}x = 5$$ On divise des deux côtés par $-\frac{5}{2}$ : $$x = \frac{5}{-\frac{5}{2}} = 5 \times \cancel{\frac{2}{-5}} = -2$$ 4. **Vérification si les points $A(\frac{5}{3}, -1)$ et $B(\sqrt{2}, -\frac{5}{\sqrt{2}})$ appartiennent à la représentation graphique $\Delta$ de $f$ :** - Pour $A$ : $$f\left(\frac{5}{3}\right) = -\frac{5}{2} \times \frac{5}{3} = -\frac{25}{6} \approx -4.1667$$ Or l'ordonnée de $A$ est $-1$, donc $A \notin \Delta$. - Pour $B$ : $$f(\sqrt{2}) = -\frac{5}{2} \times \sqrt{2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$$ L'ordonnée de $B$ est $-\frac{5}{\sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$ après rationalisation. Donc $B \in \Delta$. 5. **Détermination de $m$ pour que le point $E\left(\frac{5}{2}, 2m, m^2\right)$ appartienne à $\Delta$ :** La fonction $f$ est définie sur une variable $x$ et donne une valeur $y = f(x)$. Ici, $E$ a trois coordonnées, on suppose que la représentation graphique est dans le plan $(x,y)$ donc on considère $x=\frac{5}{2}$ et $y=2m$. Pour que $E \in \Delta$, il faut : $$2m = f\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{5}{2} \times \frac{5}{2} = -\frac{25}{4}$$ Donc : $$2m = -\frac{25}{4} \Rightarrow m = -\frac{25}{8}$$ Le troisième coordonnée $m^2$ n'intervient pas dans la fonction linéaire $f$. **Réponse finale :** - $f(2) = -5$ - $f(-6\sqrt{3}) = 15\sqrt{3}$ - L'antécédent de 5 est $x = -2$ - $A$ n'appartient pas à $\Delta$, $B$ appartient à $\Delta$ - $m = -\frac{25}{8}$ pour que $E$ appartienne à $\Delta$