1. El problema es encontrar las fórmulas para calcular todos los elementos de una hipérbola. 2. La forma estándar de una hipérbola horizontal es $$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$ y para una hipérbola vertical es $$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$ donde $(h,k)$ es el centro. 3. Elementos principales y sus fórmulas: - Centro: $(h,k)$ - Vértices: $(h \pm a, k)$ para hipérbola horizontal, $(h, k \pm a)$ para vertical - Focos: $(h \pm c, k)$ para horizontal, $(h, k \pm c)$ para vertical, donde $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ - Ejes: - Eje Transversal: longitud $2a$ - Eje Conjugado: longitud $2b$ - Asíntotas: - Para hipérbola horizontal: $$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$$ - Para hipérbola vertical: $$y = k \pm \frac{a}{b}(x - h)$$ 4. Resumen en tabla: | Elemento | Fórmula para hipérbola horizontal | Fórmula para hipérbola vertical | |---------------|---------------------------------------------|---------------------------------------------| | Centro | $(h,k)$ | $(h,k)$ | | Vértices | $(h \pm a, k)$ | $(h, k \pm a)$ | | Focos | $(h \pm c, k)$, $c=\sqrt{a^2 + b^2}$ | $(h, k \pm c)$, $c=\sqrt{a^2 + b^2}$ | | Eje Transversal| $2a$ | $2a$ | | Eje Conjugado | $2b$ | $2b$ | | Asíntotas | $y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$ | $y = k \pm \frac{a}{b}(x - h)$ | 5. Estas fórmulas permiten calcular todos los elementos importantes de una hipérbola dados $a$, $b$, $h$, y $k$.