1. সমস্যাটি হলো: যদি $x^2 = 3x - 1$ হয়, তাহলে $x^3 + \frac{1}{2} x^2$ এর মান কত? এবং $x^6 - \frac{1}{x^3}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে, যেখানে $x^4 = 47 - 2x^2$। 2. প্রথমে, $x^3$ এর মান বের করি। আমরা জানি $x^3 = x \cdot x^2$। তাই, $$x^3 = x(3x - 1) = 3x^2 - x$$ 3. এখন $x^3 + \frac{1}{2} x^2$ লিখি: $$x^3 + \frac{1}{2} x^2 = (3x^2 - x) + \frac{1}{2} x^2 = \frac{7}{2} x^2 - x$$ 4. $x^2 = 3x - 1$ ব্যবহার করে, $$\frac{7}{2} x^2 - x = \frac{7}{2} (3x - 1) - x = \frac{21}{2} x - \frac{7}{2} - x = \frac{19}{2} x - \frac{7}{2}$$ 5. এখন $x^4 = 47 - 2x^2$ থেকে $x^4$ এর মান দেওয়া আছে। আমরা $x^6$ বের করতে চাই, যা $x^6 = (x^3)^2$। 6. $x^3 = 3x^2 - x$ থেকে, $$x^3 = 3(3x - 1) - x = 9x - 3 - x = 8x - 3$$ 7. তাই, $$x^6 = (x^3)^2 = (8x - 3)^2 = 64x^2 - 48x + 9$$ 8. আবার $x^2 = 3x - 1$ বসিয়ে, $$64x^2 - 48x + 9 = 64(3x - 1) - 48x + 9 = 192x - 64 - 48x + 9 = 144x - 55$$ 9. এখন $x^6 - \frac{1}{x^3}$ এর মান বের করতে হবে। 10. $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{8x - 3}$। তাই, $$x^6 - \frac{1}{x^3} = 144x - 55 - \frac{1}{8x - 3}$$ 11. এখানে $x$ এর মান নির্দিষ্ট না থাকায়, আমরা এই রূপেই উত্তর রাখব। **সারাংশ:** - $x^3 + \frac{1}{2} x^2 = \frac{19}{2} x - \frac{7}{2}$ - $x^6 - \frac{1}{x^3} = 144x - 55 - \frac{1}{8x - 3}$