Fracții Probleme Eb7395

1. Problema 29: Fracțiile scrise de Andrei, Bianca și Corina. - Andrei scrie fracții de forma $\frac{a}{8}$ cu $a \mid 8$. Divizorii lui 8 sunt $1, 2, 4, 8$. - Bianca scrie fracții de forma $\frac{8}{b}$ cu $b \mid 8$. Divizorii lui 8 sunt aceiași. - Corina scrie fracții de forma $\frac{a}{b}$ cu $a \mid 4$ și $b \mid 8$. Divizorii lui 4 sunt $1, 2, 4$. 2. Fracțiile lui Andrei: - Posibile fracții: $\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{4}{8}, \frac{8}{8}$. - Echiunitare: fracții egale cu 1, deci $\frac{8}{8}$. - Subunitare: fracții mai mici decât 1, deci $\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{4}{8}$. - Supraunitare: fracții mai mari decât 1, niciuna. 3. Fracțiile Biancăi: - Posibile fracții: $\frac{8}{1}, \frac{8}{2}, \frac{8}{4}, \frac{8}{8}$. - Echiunitare: $\frac{8}{8}$. - Subunitare: fracții mai mici decât 1, niciuna. - Supraunitare: fracții mai mari decât 1, $\frac{8}{1}, \frac{8}{2}, \frac{8}{4}$. 4. Fracțiile Corinei: - $a \in \{1, 2, 4\}$, $b \in \{1, 2, 4, 8\}$. - Toate fracțiile posibile: $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{2}{1}, \frac{2}{2}, \frac{2}{4}, \frac{2}{8}, \frac{4}{1}, \frac{4}{2}, \frac{4}{4}, \frac{4}{8}$. - Echiunitare: fracții egale cu 1: $\frac{1}{1}, \frac{2}{2}, \frac{4}{4}$. - Subunitare: fracții mai mici decât 1: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{2}{4}, \frac{2}{8}, \frac{4}{8}$. - Supraunitare: fracții mai mari decât 1: $\frac{2}{1}, \frac{4}{1}, \frac{4}{2}$. --- 5. Problema 30: Șirul de fracții ordinare: $$\frac{1}{2017}, \frac{2}{2016}, \frac{3}{2015}, \ldots, \frac{2015}{3}, \frac{2016}{2}, \frac{2017}{1}$$ 6. Observăm că numărătorul crește de la 1 la 2017, iar numitorul scade de la 2017 la 1. 7. Fracțiile echiunitare sunt cele pentru care numărătorul este egal cu numitorul, adică când $k = 2017 - k + 1$. 8. Rezolvăm: $$k = 2017 - k + 1 \implies 2k = 2018 \implies k = 1009$$ 9. Deci fracția echiunitară este: $$\frac{1009}{2017 - 1009 + 1} = \frac{1009}{1009} = 1$$ 10. Fracțiile subunitare sunt cele cu numărător mai mic decât numitor: $$k < 2017 - k + 1 \implies 2k < 2018 \implies k < 1009$$ 11. Fracțiile supraunitare sunt cele cu numărător mai mare decât numitor: $$k > 2017 - k + 1 \implies 2k > 2018 \implies k > 1009$$ --- 12. Problema 31a: Fracția $\frac{ab5+12}{2ab+123}$ este echiunitară. 13. Notăm $ab5$ ca numărul format din cifrele $a$, $b$, și $5$, adică $100a + 10b + 5$. 14. Fracția echiunitară înseamnă: $$\frac{100a + 10b + 5 + 12}{2(10a + b) + 123} = 1$$ 15. Simplificăm: $$\frac{100a + 10b + 17}{20a + 2b + 123} = 1$$ 16. Egalăm numărătorul cu numitorul: $$100a + 10b + 17 = 20a + 2b + 123$$ 17. Calculăm: $$100a - 20a + 10b - 2b = 123 - 17$$ $$80a + 8b = 106$$ 18. Împărțim totul la 2: $$40a + 4b = 53$$ 19. Deoarece $a$ și $b$ sunt cifre (0-9), încercăm valori pentru $a$ și $b$ care să satisfacă această ecuație. 20. Observăm că $40a + 4b = 53$ este imposibil cu $a,b$ cifre, deoarece $40a$ este multiplu de 4, iar 53 nu este multiplu de 4. 21. Deci nu există soluție cu $a,b$ cifre. Probabil o interpretare greșită a problemei. Dacă $ab$ este numărul format din cifrele $a$ și $b$, adică $10a + b$, atunci: 22. Numărătorul: $ab5 + 12 = 100a + 10b + 5 + 12 = 100a + 10b + 17$ 23. Numitorul: $2ab + 123 = 2(10a + b) + 123 = 20a + 2b + 123$ 24. Fracția echiunitară: $$100a + 10b + 17 = 20a + 2b + 123$$ $$80a + 8b = 106$$ 25. Împărțim la 2: $$40a + 4b = 53$$ 26. Deoarece $40a + 4b$ este multiplu de 4, iar 53 nu este, nu există soluții întregi pentru $a,b$. 27. Probabil $ab5$ este un număr format din cifrele $a$, $b$, și $5$ ca o expresie simbolică, iar $a,b$ sunt cifre de la 0 la 9. 28. Dacă presupunem că $ab5$ este un număr format din cifrele $a$, $b$, și $5$, atunci $ab5 = 100a + 10b + 5$. 29. Fracția echiunitară: $$\frac{100a + 10b + 5 + 12}{2(10a + b) + 123} = 1$$ $$100a + 10b + 17 = 20a + 2b + 123$$ $$80a + 8b = 106$$ 30. Împărțim la 2: $$40a + 4b = 53$$ 31. Deoarece $40a + 4b$ este multiplu de 4, iar 53 nu este, nu există soluții. 32. Concluzie: Nu există $a,b$ cifre care să satisfacă condiția pentru fracția echiunitară. --- 33. Problema 31b: Fracția este subunitară, deci: $$\frac{100a + 10b + 17}{20a + 2b + 123} < 1$$ $$100a + 10b + 17 < 20a + 2b + 123$$ $$80a + 8b < 106$$ $$10a + b < \frac{106}{8} = 13.25$$ 34. $a,b$ cifre, deci $10a + b$ este un număr între 0 și 99. 35. Căutăm $a,b$ astfel încât $10a + b < 13.25$, deci $10a + b \leq 13$. 36. Valori posibile pentru $10a + b$ sunt de la 0 la 13. 37. Suma $a + b$ este maximă când $10a + b$ este maxim 13. 38. Posibilități: - $a=1, b=3$, suma $1+3=4$ - $a=0, b=13$ nu este cifră 39. Deci suma maximă este $4$. --- 40. Problema 32: Arătați că fracția $$\frac{2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{2010}}{(32^{1608})^{251}}$$ este supraunitară. 41. Calculăm numărătorul: $$2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{2010} = 2^{1+2+3+\ldots+2010}$$ 42. Suma exponenților: $$1 + 2 + 3 + \ldots + 2010 = \frac{2010 \cdot 2011}{2} = 2010 \cdot 1005.5 = 2,021,055$$ 43. Deci numărătorul este: $$2^{2,021,055}$$ 44. Calculăm numitorul: $$32^{1608} = (2^5)^{1608} = 2^{5 \cdot 1608} = 2^{8040}$$ 45. Ridicăm la puterea 251: $$(2^{8040})^{251} = 2^{8040 \cdot 251} = 2^{2,017,040}$$ 46. Fracția este: $$\frac{2^{2,021,055}}{2^{2,017,040}} = 2^{2,021,055 - 2,017,040} = 2^{4,015}$$ 47. Deoarece $2^{4,015} > 1$, fracția este supraunitară. --- 48. Problema 33a: Secvența de fracții: $$1/1; 2/1; 1/2; 3/1; 2/2; 1/3; 4/1; 3/2; 2/3; 1/4; \ldots; 20/24$$ 49. Observăm că secvența este formată din fracții cu numărător și numitor între 1 și 24, ordonate după o regulă. 50. Numărul termenilor este $20 \times 24 = 480$ fracții. --- 51. Problema 33b: Numărul fracțiilor subunitare. 52. Fracțiile subunitare sunt cele cu numărător mai mic decât numitor. 53. Pentru fiecare numitor $b$ de la 1 la 24, numărătorii $a$ variază de la 1 la 20. 54. Numărăm perechile $(a,b)$ cu $a < b$. 55. Pentru $b = 1$, $a < 1$ nu există. 56. Pentru $b = 2$, $a = 1$ este subunitar. 57. Pentru $b = 3$, $a = 1, 2$ sunt subunitare. 58. Continuăm până la $b = 20$, unde $a = 1, 2, \ldots, 19$ sunt subunitare. 59. Pentru $b > 20$, $a$ variază doar până la 20, deci toate $a < b$. 60. Calculăm suma: $$\sum_{b=1}^{20} (b-1) + \sum_{b=21}^{24} 20$$ 61. Prima sumă: $$\sum_{b=1}^{20} (b-1) = \sum_{k=0}^{19} k = \frac{19 \cdot 20}{2} = 190$$ 62. A doua sumă: $$\sum_{b=21}^{24} 20 = 4 \times 20 = 80$$ 63. Total fracții subunitare: $$190 + 80 = 270$$ --- 64. Problema 33c: Numărul fracțiilor supraunitare. 65. Fracțiile supraunitare sunt cele cu $a > b$. 66. Pentru $b = 1$, $a = 2, 3, \ldots, 20$ sunt supraunitare, deci $19$ fracții. 67. Pentru $b = 2$, $a = 3, \ldots, 20$ sunt supraunitare, $18$ fracții. 68. Continuăm până la $b = 19$, $a = b+1, \ldots, 20$. 69. Pentru $b \geq 20$, nu există $a > b$ deoarece $a \leq 20$. 70. Calculăm suma: $$\sum_{b=1}^{19} (20 - b) = \sum_{k=1}^{19} (20 - k) = \sum_{k=1}^{19} k = \frac{19 \cdot 20}{2} = 190$$ --- Răspunsuri finale: - Problema 29: - Andrei: echiunitare $\{\frac{8}{8}\}$, subunitare $\{\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{4}{8}\}$, supraunitare $\emptyset$. - Bianca: echiunitare $\{\frac{8}{8}\}$, subunitare $\emptyset$, supraunitare $\{\frac{8}{1}, \frac{8}{2}, \frac{8}{4}\}$. - Corina: echiunitare $\{\frac{1}{1}, \frac{2}{2}, \frac{4}{4}\}$, subunitare $\{\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{2}{4}, \frac{2}{8}, \frac{4}{8}\}$, supraunitare $\{\frac{2}{1}, \frac{4}{1}, \frac{4}{2}\}$. - Problema 30: - Echiunitară: $\frac{1009}{1009}$. - Subunitare: fracțiile cu $k < 1009$. - Supraunitare: fracțiile cu $k > 1009$. - Problema 31a: Nu există $a,b$ cifre care să satisfacă condiția echiunitară. - Problema 31b: Valoarea maximă a sumei $a + b$ este $4$. - Problema 32: Fracția este supraunitară deoarece este egală cu $2^{4015} > 1$. - Problema 33a: Numărul termenilor este $480$. - Problema 33b: Numărul fracțiilor subunitare este $270$. - Problema 33c: Numărul fracțiilor supraunitare este $190$.