1. O problema pede para encontrar a fração irredutível $\frac{a}{b}$ que gera a dízima periódica $3,012012\ldots$ e depois calcular o valor de $a-b$. 2. A dízima periódica é um número decimal com uma parte periódica que se repete infinitamente. Para converter uma dízima periódica em fração, usamos a fórmula: $$x = \text{número decimal}$$ $$\text{parte não periódica} = N$$ $$\text{parte periódica} = P$$ $$\text{número de dígitos da parte não periódica} = m$$ $$\text{número de dígitos da parte periódica} = n$$ A fração é dada por: $$x = \frac{\text{parte inteira} \times 10^{m+n} + \text{parte não periódica} \times 10^n + \text{parte periódica} - (\text{parte inteira} \times 10^m + \text{parte não periódica})}{10^{m+n} - 10^m}$$ 3. Para o número $3,012012\ldots$, identificamos: - Parte inteira: 3 - Parte não periódica: 0 (apenas o dígito 0 antes da repetição) - Parte periódica: 12 - $m = 1$ (um dígito na parte não periódica) - $n = 2$ (dois dígitos na parte periódica) 4. Definimos $x = 3,012012\ldots$ Multiplicamos $x$ por $10^{m+n} = 10^{3} = 1000$: $$1000x = 3012,012012\ldots$$ Multiplicamos $x$ por $10^m = 10^1 = 10$: $$10x = 30,12012012\ldots$$ 5. Subtraímos as duas equações para eliminar a parte periódica: $$1000x - 10x = 3012,012012\ldots - 30,12012012\ldots$$ $$990x = 2981,892$$ Mas precisamos ser mais precisos para eliminar a parte decimal periódica: Na verdade, a subtração correta é: $$1000x - 10x = 3012,012012\ldots - 30,12012012\ldots = 2981,892$$ No entanto, isso não elimina a parte decimal periódica corretamente. O método correto é: $$1000x = 3012,012012\ldots$$ $$10x = 30,12012012\ldots$$ Subtraindo: $$1000x - 10x = 3012,012012\ldots - 30,12012012\ldots$$ $$990x = 2981,892$$ Mas o número decimal $2981,892$ não é exato, pois a parte decimal é periódica. Para evitar confusão, vamos usar a fórmula direta para dízimas periódicas com parte não periódica: 5.1. Escrevemos o número como: $$x = 3 + 0,012012012\ldots$$ 5.2. A parte periódica é $012$, que tem 3 dígitos, e não há parte não periódica após a vírgula (pois o 0 faz parte da repetição). Então $m=0$, $n=3$. 5.3. Usamos a fórmula para dízima pura: $$x = 3 + \frac{012}{999} = 3 + \frac{12}{999}$$ 6. Simplificamos a fração $\frac{12}{999}$: $$\frac{12}{999} = \frac{\cancel{12}^{12/3}}{\cancel{999}^{999/3}} = \frac{4}{333}$$ 7. Portanto: $$x = 3 + \frac{4}{333} = \frac{3 \times 333}{333} + \frac{4}{333} = \frac{999 + 4}{333} = \frac{1003}{333}$$ 8. A fração irredutível geratriz é $\frac{a}{b} = \frac{1003}{333}$. 9. Finalmente, calculamos $a - b$: $$1003 - 333 = 670$$ Resposta final: $670$.