1. **Énoncé du problème :** Compléter les égalités et le tableau avec les inverses et opposés des nombres donnés. 2. **Rappel des définitions importantes :** - L'inverse d'un nombre $a$ (différent de zéro) est $\frac{1}{a}$. - L'opposé d'un nombre $a$ est $-a$. 3. **Complétons la première égalité :** $$1 - \frac{1}{8} \times \frac{5}{1} \times \frac{2}{1} = -1 \times ... \times 12 \times 7 \times \frac{4}{-4} = 0 \times \frac{3}{5}$$ Calculons la première partie : $$\frac{1}{8} \times 5 \times 2 = \frac{1 \times 5 \times 2}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$$ Donc : $$1 - \frac{5}{4} = \frac{4}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$$ La première partie vaut donc $-\frac{1}{4}$. Pour que l'égalité soit vraie, on doit avoir : $$-1 \times ... \times 12 \times 7 \times \frac{4}{-4} = -\frac{1}{4}$$ Sachant que $\frac{4}{-4} = -1$, on a : $$-1 \times ... \times 12 \times 7 \times (-1) = -\frac{1}{4}$$ Simplifions : $$-1 \times ... \times 12 \times 7 \times (-1) = ... \times 12 \times 7$$ Donc : $$... \times 12 \times 7 = -\frac{1}{4}$$ Calculons $12 \times 7 = 84$, donc : $$... \times 84 = -\frac{1}{4} \Rightarrow ... = -\frac{1}{4} \times \frac{1}{84} = -\frac{1}{336}$$ Ainsi, le nombre manquant est $-\frac{1}{336}$. 4. **Complétons la deuxième égalité :** $$0 \times \frac{3}{5} = 0$$ C'est correct, donc rien à compléter ici. 5. **Complétons le tableau :** | Nombre | $\frac{3}{-4}$ | $-\frac{7}{6}$ | $-5$ | |--------|-----------------|----------------|------| | Inverse| $-\frac{4}{3}$ | $-\frac{6}{7}$ | $-\frac{1}{5}$ | | Opposé | $-\frac{3}{4}$ | $\frac{7}{6}$ | $5$ | **Explications :** - Inverse de $\frac{3}{-4}$ est $\frac{-4}{3}$. - Inverse de $-\frac{7}{6}$ est $-\frac{6}{7}$. - Inverse de $-5$ est $-\frac{1}{5}$. - Opposé de $\frac{3}{-4}$ est $-\frac{3}{4}$. - Opposé de $-\frac{7}{6}$ est $\frac{7}{6}$. - Opposé de $-5$ est $5$. 6. **Vérification :** - L'inverse multiplié par le nombre donne 1. - L'opposé est le nombre avec le signe changé. **Réponse finale :** - Nombre manquant dans la première égalité : $-\frac{1}{336}$. - Tableau complété comme ci-dessus.